Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion .
a)
(3 BE)
Einer der folgenden Graphen I, II, und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von . Geben Sie diesen Graphen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
b)
(2 BE)
Die Funktion ist eine Stammfunktion von . Geben Sie das Monotonieverhalten von im Intervall an. Begründen Sie Ihre Angabe.
Lösung anzeigen
Aus gegebenen Graphen sind charakteristische Eigenschaften der zugehörigen Funktionen zu erschließen bzw. im Rahmen der Zeichengenauigkeit vernünftig abzuschätzen.
Lösung Teilaufgabe a)
Infrage kommt nur der Graph I.
Begründung:
Der Graph der Funktion hat für die (geschätzten) Werte und lokale Extrema.
Die Ableitungsfunktion der Funktion muss deshalb (etwa) für diese Werte Nullstellen haben.
Damit scheidet Graph II aus.
Dem Graphen von entnimmt man für eine (Wende-)Tangente mit einer geschätzten Steigung von etwa .
Damit scheidet der Graph III aus. Denn für diesen Graph gilt . Der Graph I dagegen passt mit gut.
Vertiefung der Aufgabenstellung
Der gegebene Graph von ist allem Anschein nach punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und deshalb könnte zu ihm näherungsweise eine ganzrationale Funktion 3. Grades passen. (Jede ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt!)
Damit ist der gesuchte Graph der Ableitungsfunktion tatsächlich "parabelförmig", wie in allen zur Auswahl stehenden Graphen angedeutet.
Lösung Teilaufgabe b)
Die Lösung der Aufgabe verlangt die Vertrautheit mit dem Zusammenhang einer Funktion und einer ihrer Stammfunktionen und Kenntnis eines Monotoniekriteriums.
Ergebnis:
Jede Stammfunkktion ist im Intervall monoton fallend.
Begründung:
Für jede Stammfunktion ist die zugehörige Ableitungsfunktion.
Da im Intervall negativ ist, ist nach dem Monotoniekriterium differenzierbarer Funktionen monoton fallend.
Graphische Veranschaulichung
Die Teilaufgabe b) war in der Abiturprüfung - aus Zeitersparnisgründen - ohne graphische Bezugnahme zu lösen.
Außerhalb des Prüfungsstresses kann eine graphische Veranschaulichung dem Verständnis sicherlich förderlich sein.
