a)
(3 BE)
Betrachtet wird eine Schar von Funktionen mit , die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen unterscheiden.
Es gilt mit .
Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion . Geben Sie den größtmöglichen Wert von an, sodass die zugehörige Funktion umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von den Graphen der Umkehrfunktion von in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.
b)
(2 BE)
Geben Sie den Term einer in definierten und umkehrbaren Funktion an, die folgende Bedingung erfüllt: Der Graph von und der Graph der Umkehrfunktion von haben keinen gemeinsamen Punkt.
Lösung anzeigen
Im Teil a) sind die Funktionen einer Funktionenschar zu erkennen und zu unterscheiden. Zu einer umkehrbaren Funktion der Schar ist graphisch die Umkehrfunktion zu zeichnen.
Im Teil b) ist eine umkehrbare Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften anzugeben.
Die Aufgabe verlangt Verständnis für die Bedeutung des Scharparameters in einer Funktionenschar und Kenntnisse zur Umkehrbarkeit von Funktionen.
Lösung Teilaufgabe a)
Hinführung zum Aufgabenverständnis
Findet sich eine Gruppe von Personen zusammen, so spricht man auch von einer Menschenschar.
Werden bei einer Aufgabe mehrere Funktionen gleichzeitg angesprochen, so spricht man von einer "Funktionenschar".
Dabei ist es unerheblich, wie viele Funktionen zu betrachten sind. Es kann sich um vergleichsweise wenige - also vielleicht nur zwei oder drei -, es kann sich aber auch - und das ist sogar der Normalfall - um sehr viele Funktionen, sogar um unendlich viele handeln.
Um wie viele Funktionen es sich handelt, wird durch den sogenannten "Scharparameter" und seine Anzahl festgelegt.
Jeder einzelne Scharparameter bestimmt "seine" Funktion.
In dieser Aufgabe wird für den Scharparameter der Buchstabe k gewählt. Jede zu einem festen Wert gehörende Funktion heißt hier .
Für das Verständnis von Funktionenscharen ist nun wichtig zu beachten:
Funktionen, die den gleichen Funktionsterm, aber verschiedene Definitionsmengen haben, sind verschiedene Funktionen.
Und genau dies trifft für alle Funktionen dieser Schar zu:
Jede Funktion hat den Funktionsterm (in dem also gar nicht vorkommt), aber den Definitionsbereich .
Die einzelnen Graphen der Funktionenschar sind also Kosinuslinien, die bei beginnen und jeweils bei enden. Sie unterscheiden sich also lediglich in ihrer Länge.
Und da gilt, dass für jede positive reelle Zahl infrage kommt (), besteht die Kurvenschar aus unendlich vielen dieser Kosinuslinien beliebiger Längen.
Die Funktionenschar besteht wegen aus unendlich vielen Graphen mit dem Funktionsterm , die alle bei beginnen und für jedes gewählte bei enden, da gilt .
Die Graphen sind also Kosinusgraphen unterschiedlicher Länge.
Der größtmögliche Wert für , damit umkehrbar ist, ist .
Begründung:
Alle mit sind monton fallend und damit umkehrbar.
Lösung Teilaufgabe b)
Eine streng monotone in definierte Funktion nimmt sicher keine Wert mehr als einmal an, daher ist es eine gute Idee, bei der Suche nach Beispielen damit zu beginnen.
Damit der Graph von und der Graph ihrer Umkehrfunktion keinen Punkt gemeinsam haben, darf der Graph von mit der Winkelhalbierenden keinen Punkt gemeinsam haben.
Beispiele sind:
- Eine lineare Funktion: mit
- Die e-Funktion: mit . Hierbei ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion allerdings nicht , sonden nur das Intervall .
