Modelliere jeweils durch einen entsprechenden Funktionsterm :
Die Tabelle zeigt die Entwicklung des ökologischen Landbaus in Deutschland:
Jahr | 1984 | 1990 | 1996 | 2002 |
|---|---|---|---|---|
Fläche in 1000 ha | 22 | 84 | 313 | 632 |
Falls die Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion der Bauart beschrieben wird, wie lautet dann die Basis und wie ist dieser Wert zu interpretieren?
Überprüfe, ob die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung passen.
Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?
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Teil 1
- Im Jahr 1990 ist . Setze in ein und löse nach auf.
- Die Nachkommastellen von geben die prozentuale Steigung der Fläche pro Jahr an.
Teil 2
- Setze (für ) bzw. (für ) in die Funktionsgleichung ein und vergleiche mit den gegebenen Werten.
Teil 3
- Überlege, wie sich verhält, wenn gegen geht.
Entwicklung von 1990 bis 1996 durch eine Exponentialfunktion
Im Jahr 1990 ist und im Jahr 1996 ist .
Umformung: \sqrt[6]{~}
Damit ist .
Wie ist dieser Wert für a zu interpretieren?
Die Fläche nimmt pro Jahr um etwa zu.
Passen die Daten von 1984 und 2002 zu dieser Modellierung
Im Jahr 1984 ist .
Dieser Wert passt zu den gegebenen Daten ().
Im Jahr 2002 ist .
Dieser Wert passt nicht zu den gegebenen Daten ().
Wann (in der Vergangenheit) startete nach diesem Modell die Fläche bei 0 ha?
Da sich für nur asymptotisch der nähert, aber immer größer ist, gab es die Fläche ha zu keinem Zeitpunkt.
Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch davon vorhanden.
Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?
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Zur Lösung dieser Aufgabe bieten sich unter anderem die beiden folgenden Wege an.
- Lösung mit Hilfe der allgemeinen Formel für Zerfallsprozesse
- Lösung mit Hilfe der allgemeinen Potenzfunktion
In beiden Fällen müssen zunächst die jeweiligen Funktionsparameter bestimmt werden. Im Anschluss kann anhand der erhaltenen Funktionsterme die Halbwertszeit ermittelt werden.
Verwende die allgemeine Formel für Zerfallsprozesse.
Um die Halbwertszeit bestimmen zu können, benötigst du zunächst die Zerfallskonstante .
Setze die aus der Aufgabenstellung bekannten Zahlen in die Formel ein. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von .
Umformung: :N_0
Umformung: \ln
Wende die Umkehrfunktion der -Funktion an.
Verwende zur Vereinfachung die Rechenregeln des Logarithmus:
Umformung: \cdot\left(-1\right)
Umformung: :183
Jetzt kennst du die Zerfallskonstante. Bestimme nun die gesuchte Halbwertszeit .
Hierzu verwende die Definition der Halbwertszeit: nach der Halbwertszeit sind noch die Hälfte der Teilchen vorhanden.
Umformung: :N_0
Umformung: \ln
Wende die Umkehrfunktion der -Funktion an.
Umformung: :(-\lambda)
Setze ein.
Die Halbwertzeit beträgt rund .
Lösung mithilfe der allgemeinen Potenzfunktion
Gegenstand der Aufgabe ist es, die Halbwertszeit des vorliegenden radioaktiven Elements zu ermitteln. Dazu benötigst du in dieser Lösungsvariante die allgemeine Potenzfunktion, deren Gleichung lautet.
Ausgangssituation:
Anfangs () sind Kerne vorhanden
Da , ist nun der Wert des Parameters bekannt.
Situation nach 183 Sekunden:
Nach 183 Sekunden existieren noch der anfangs vorhanden Kerne.
Also:
Setze ein
Umformung: :20000
Umformung: \sqrt[183]{}
Resultierender Funktionsterm
Nachdem du die Werte der beiden Parameter bestimmt hast, kennst du nun den Funktionsterm, der die Anzahl der noch vorhandenen Kerne in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit beschreibt.
Bestimmung der Halbwertszeit
Du suchst nun die Zeit T, zu der die Anzahl noch der vorhandenen Kerne genau halb so groß ist wie jene zu Beginn. Es gilt also:
Verwende den zuvor ermittelten Funktionsterm
Umformung: \ln()
Umformung: :\ln(0,9875)
Ergebnis: Die Halbwertszeit T beträgt etwa 55,1 Sekunden.
Bemerkung
Das in dieser Variante ermittelte Ergebnis weicht geringfügig von dem der alternativen Aufgabenlösung (siehe oben) ab, weil du mit dem gerundeten Wert für den Parameter weitergerechnet hast. Bei Verwendung des ungerundeten Zwischenergebnisses erhältst du analog zum obigen Lösungsvorschlag eine Halbwertszeit von Sekunden.
Ein Hersteller von Bleistiften hat anfangs 20 000 Stifte in seinem Lager,
nach 183 Tagen ist (bei gleichmäßiger Nachfrage seitens der Kunden) nur noch davon vorrätig, wenn währenddessen keine Stifte produziert werden.
Ergibt sich eine lineare oder exponentielle Abnahme für Vorrat nach Tagen?
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- Berechne, wie viele Stifte verkauft wurden.
- Berechne den Verkauf pro Tag.
Lineare oder exponentielle Abnahme für Vorrat nach Tagen?
Es handelt sich um eine lineare Abnahme, weil von einer gleichmäßigen Nachfrage gesprochen wird. Das heißt, die Kunden kaufen jeden Tag die gleiche Menge an Stifte.
Exponentiell wäre der Zusammenhang genau dann, wenn die Nachfrage der Kunden gleichmäßig bspw. um jeden Tag ansteigen würde.
Es sind noch von gleich Bleistifte vorrätig, d.h. es wurden Stifte verkauft.
Pro Tag nahm der Vorrat um Stifte ab.
Die lineare Funktionsgleichung lautet demnach:
.