Aus einem 120cm langen Draht ist das Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt maximal ist.
Wie lang sind die Kanten zu wählen?
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Gegeben: Gesamtkantenlänge, eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante
Gesucht: Kantenlänge so, dass Volumen maximal
Stelle die Volumenfunktion des Quaders mit den Kanten , und auf; das ist die Zielfunktion, die es zu maximieren gilt.
Bestimme die Nebenbedingung, welche durch die Gesamtkantenlänge und die Tatsache, dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante sein soll, gegeben ist. Wähle dabei z. B. b=3a.
Stelle die Nebenbedingung um.
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein und erhalte die Extremalfunktion. Beachte dabei, dass negative Längen keinen Sinn machen.
mit
Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um im nächsten Schritt den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.
Setze die erste Ableitung gleich Null und setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein. Du erkennst dann, dass der Extremwert tatsächlich wie gewünscht ein Maximum ist.
Berechne nun noch die Kantenlängen und .
Kante ist , Kante und Kante zu wählen.