Aus einem langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden.
Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?
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Gegeben: Gesamtkantenlänge einer quadratischen Säule
Gesucht: Kantenlängen für maximales Volumen
Stelle die Zielfunktion auf, die maximiert werden soll; in diesem Fall ist das das Volumen einer quadratischen Säule mit der Grundseitenlänge und der Höhe .
Bestimme die Nebenbedingung, die durch die Gesamtkantenlänge gegeben ist.
Stelle die Nebenbedingung nach um.
mit
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein, um die Extremalfunktion zu erhalten. Beachte dabei, dass a positiv sein muss. Leite die Extremfunktion zweimal ab.
Setze die erste Ableitung gleich Null, berechne die Grundseitenlänge und setze ihn in die zweite Ableitung ein, um zu erkennen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.
oder
muss nicht weiter untersucht werden, da nur positive Grundseitenlängen betrachtet werden.
Da die zweite Ableitung negativ ist, handelt es sich bei um das gesuchte Maximum.
Gib nun endgültig und an und berechne das Volumen (nicht verlangt).