Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel für seine Pferde anlegen.
Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezäunt werden.
Der zur Verfügung stehende Zaun ist 120m lang.
Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große Weidefläche hat?
Wie groß ist die Weidefläche dieser Koppel?
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Gegeben: kombinierte Länge von drei Seiten
Gesucht: ideale Seitenlänge für maximale Fläche
Bestimme die Zielfunktion, nämlich die Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen und
Stelle die Nebenbedingung auf. Da man für eine Seite (z. B. l) keinen Zaun benötigt, verändert sich die Nebenbedingung im Vergleich zur normalen Umfangsformel etwas.
mit
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein und erhalte die Extremalfunktion. Beachte dabei, dass b sinnvollerweise nur positive Werte annehmen kann.
Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um im nächsten Schritt den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.
Setze die erste Ableitung gleich Null und setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein. Du erkennst dann, dass der Extremwert tatsächlich wie gewünscht ein Maximum ist.
Berechne nun noch durch Einsetzen der Breite in die Nebenbedingung und die Fläche der Weidekoppel.
Für die maximale Weidefläche muss der Bauer die Koppel also 60 m lang und 30 m breit wählen. Damit erreicht er eine Weidefläche von 1800 m².