Gegeben ist die Funktionenschar mit mit dem negativen Parameter .
- Untersuche die Lage des Maximums.
- Zeige, dass die Maxima aller Scharkurven auf einer Geraden liegen und gib deren Gleichung an.
Lösung anzeigen
1 Bilde die erste Ableitung.
Setze die 1.Ableitung gleich Null, um Extremstellen zu bestimmen.
Wende die Mitternachtsformel an.
Berechne die beiden Lösungen.
Bestimme die Vorzeichen der 1. Ableitung zwischen den Extremstellen.
Beachte dabei, dass 3a "links" von -a liegt, da a nach Voraussetzung a negativ ist.
Zudem ist die Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel und hat somit die Vorzeichenfolge hat.
Es gibt also einen Vorzeichenwechsel bei von d. h. bei liegt die Maximalstelle.
Maximalstelle:
Berechne den y-Wert zu diesem x-Wert, indem du in einsetzt.
Multipliziere aus.
Fasse die Terme mit a zusammen.
Gib das Maximum explizit an.
Das Maximum hat die Koordinaten:
2 Gerade bestimmen, auf der alle Maxima liegen
Das Maximum hat die -Koordinate und die -Koordinate . Beide Koordinaten enthalten den Parameter . Für die Ortskurve der Maxima muss der Parameter aus beiden Koordinaten entfernt werden.
Löse die Gleichung für den -Wert der Maxima nach auf und setze den erhaltenen Wert in die Gleichung für die -Koordinate ein:
Umformung: :3
Setze für ein.
Vereinfache den Term.
Die Maxima liegen alle auf einer Geraden
Sie hat die Gleichung