Welcher Punkt P auf der Parabel mit der Funktionsgleichung hat vom Punkt minimalen Abstand?
Wie groß ist dieser minimale Abstand?
Lösung anzeigen
Bei dieser Aufgabe sollst du den minimalen Abstand eines Parabelpunktes von einem vorgegebenen Punkt "innerhalb" der Parabel als Extremwertaufgabe berechnen.
Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.
Zielfunktion:
Abstand der beiden Punkte und .
Nebenbedingung:
Der Punkt liegt auf der Parabel.
Gib die Zielfunktion an. Benutze dazu den Satz des Pythagoras.
Gib die Funktionsgleichung der Nebenbedingung an.
Beachte: Für alle Punkte, für die der Abstand minimal wird, wird auch das Quadrat des Abstandes minimal.Deshalb nimmt man als Zielfunktion.
Dies erleichtert die Rechnung.
Zielfunktion:
Nebenbedingung:
Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
Fasse in der Klammer zusammen und quadriere mit der binomischen Formel.
Bilde die Ableitung
Setze die Ableitung gleich Null und löse die Gleichung.
Untersuche, für welche der Lösungen die 2. Ableitung positiv ist, damit jeweils ein Minmum vorliegt
ergibt ein lokales Maximum des Abstandsquadrats.
und liefern ein Minimum des Quadrat des Abstandes und damit auch ein Minimum des Abstands.
Gib die drei Punkte und den dazu gehörigen Abstand an.
Einsetzen der drei -Werte in die Nebenbedingung:
und
Ergebnis:
Die beiden Punkte und haben von der Parabel mit rund den geringsten Abstand.
Im nachfolgenden Applet kannst du dies überprüfen indem du den Punkt verschiebst.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Alternative Lösung
Bei dieser Lösung ermittelst du in Frage kommende Parabelpunkt über eine Betrachtung von Tangenten der Parabel.
Für die drei Extremumspunkte , , gilt:
Die jeweilige Verbindungsstrecke zum Punkt steht senkrecht auf der Parabeltangente.
Parabel:
Tangentensteigung:
Gib die Steigung von an.
Lotbedingung ansetzen!
Damit sind - auf anderem Weg - die x-Koordinaten der beiden Lösungspunkte der Extremumsaufgabe gefunden.
Zusatz:
Auch für den Punkt ("Maximumspunkt") steht die Tangente senkrecht auf der Verbindungsstrecke zu .