Welcher Punkt auf der Geraden g mit der Funktionsgleichung hat vom Punkt minimalen Abstand?
Wie groß ist dieser minimale Abstand?
Fertige zunächst eine Skizze an!
Lösung anzeigen
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Bei dieser Aufgabe bestimmst du als Extremwertaufgabe denjenigen Punkt der Geraden, der von einem gegebenen Punkt außerhalb der Geraden den kleinsten Abstand hat.
Hinweis
Die Zielfunktion der Extremwertaufgabe ist der Abstand zweier Punkte. Damit ergibt sich die Zielfunktion (über den Satz des Pythagoras) als eine Wurzelfunktion.
Da für diejenigen Punkte, für die ihr Abstand minimal oder maximal wird auch das Quadrat ihres Abstands ein Extremum ergibt, verwendet man der Bequemlichkeit halber - z.B. für die einfachere Berechnung der Ableitung - das Quadrat des Abstandes als Zielfunktion.
Der Zeichnung entnimmst du die Zielfunktion und die Nebenbedingung dieser Extremwertaufgabe.
Zielfunktion
Abstand der Punkte und .
Nebenbedingung
Der Punkt liegt auf der Geraden
Berechne die Zielfunktion mit Hilfe des Satzes des Pythagoras.
Setze die Geradengleichung für y ein.
Quadriere aus
Fasse zusammen
Umformung: \sqrt{}
Ziehe die Wurzel
Beachte für Extremwertaufgaben mit einer Abstandsbedingung:
Für alle Punkte, für die der Abstand minimal oder maximal wird, ist auch das Quadrat des Abstandes minimal bzw. maximal, da gilt:
.
Da die Ableitung für bequemer zu berechnen ist, als für (keine Wurzel!), benutzt man als Zielfunktion ab hier das Quadrat des Abstandes.
Bilde die Ableitung
Setze die Ableitung gleich Null
Umformung: +2
Umformung: :4
Berechne die 2. Ableitung der Zielfunktion, um dich zu versichern, dass ein Minimum des Quadrats des Abstandes liefert.
Bestimme jetzt aus der Nebenbedingung :
ist der gesuchte Punkt.
Berechne abschließend , nicht nur !!
Ergebnis:
Der minimale Abstand des Punktes von der Geraden beträgt:
Alternative Lösung
Ohne Kenntnisse aus der Differenzialrechnung kannst du die Aufgabe auch mit einer geometrischen Überlegung lösen:
Der gesuchte Punkt der Geraden mit kleinstem Abstand zum Punkt ist der Lotfußpunkt vom Punkt auf die Gerade .
Er kann
a) als Gleitpunkt auf der Geraden oder
b) als Schnittpunkt zweier Geraden
berechnet werden.
a) Der Lotfußpunkt als Gleitpunkt auf .
Wenn die Strecke auf der Geraden senkrecht stehen soll, muss für deren Steigungen und gelten:
.
Also:
Setze die Geradengleichung für y ein
Umformung: \cdot (x_F - 3)
Umformung: + x_F -2
Umformung: :2
b) Der Lotfußpunkt liegt auf der Geraden , seine x-Koordinate hast du gerade berechnet, die y-Koordinate erhältst du durch einsetzen in :
Im nachfolgenden Applet kannst du die Rechnung überprüfen, indem du den Geradenpunkt verschiebst.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.