Der Absatz (Verkaufszahlen) einer Ware ist wesentlich abhängig vom Preis . Je höher der Preis, desto geringer ist in der Regel der Absatz.
Diesen Zuammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion (PAF)
Der Umsatz (Verkaufserlös) ist als Produkt aus Absatz und Preis eine Wertgröße.
Eine Firma verkauft pro Monat von einem Artikel Stück zu einem Stückpreis von .
Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch:
Bestimme den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Stückpreis p.
Für welchen Preis p ist der Umsatz maximal?
Lösung anzeigen
In dieser Aufgabe aus dem Wirtschaftsleben sollst du den Zusammenhang zwischen Warenpreis und Verkaufserfolg, der am Umsatz gemessen wird, erfassen und den maximalen Umsatz als Extremwertaufgabe berechnen.
Anmerkung: Diese Lösungsskizze rechnet ohne Einheiten.
Gesucht: und optimaler Preis
Stelle die Zielfunktion auf: monatlicher Umsatz = Stückzahl mal Preis.
Erkenne die Nebenbedingung, die durch die Preis-Absatz-Funktion gegeben ist.
:
Bestimme die Extremalfunktion , also den monatlichen Umsatz in Abhängigkeit vom Preis, indem du in die Nebenbedingung einsetzt.
Berechne die erste und zweite Ableitung.
Setze die erste Ableitung gleich Null und erkenne anhand der zweiten Ableitung, dass es sich um ein Maximum handelt.
Berechne .
Ergebnis:
Der maximale monatliche Umsatz der Firma beim Verkauf des Artikels beträgt bei einem Stückpreis von .