Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Normalenform gegebenen Ebenen.
und
.
Lösung anzeigen
Wandle in Koordinatenform um. Nun können die drei Koordinaten (Zeilen) der Gleichung in Parameterform, also in die Koordinatenform von eingesetzt werden. Nach der Vereinfachung der Gleichung kann daran abgelesen werden, welche Lagebeziehung vorliegt!
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene gebildet werden. Dazu ist das Skalarprodukt aus Normalenvektor und dem Differenzvektor zu bilden:
Daraus folgt die Koordinatenform:
Die Parameterform von besteht aus 3 Gleichungen für , und . Diese werden an die Stelle der 3 Koordinaten in eingesetzt:
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
Das Ergebnis war: . Das ist offensichtlich eine wahre Aussage. Unabhängig von den Werten der Parameter und entsteht immer eine wahre Aussage. Daher müssen die Ebenen und identisch sein.
zusätzliche graphische Darstellung
(Die Ebenen liegen aufeinander.)
und
Lösung anzeigen
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform der Ebene ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene wird in die Ebene eingesetzt.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung mit den beiden Parametern und erhalten. Diese Gleichung kannst Du nach einem der beiden Parameter auflösen, hier z.B. nach .
Du kannst nun die Gleichung in die Ebenengleichung einsetzen:
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen und ist eine Gerade mit der Gleichung:
zusätzliche graphische Darstellung
und
Lösung anzeigen
Beginne damit die Ebene in die Koordinatenform umzuwandeln. Dann kannst du die Ebene in einsetzen und den Parameter finden, welcher zur Schnittgeraden führt.
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene gebildet werden. Rechne das Skalarprodukt aus.
Daraus folgt die Koordinatenform:
Für jede Koordinate , und wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung eingesetzt. (Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.)
Setze ; und in ein:
Die Klammer wird ausmultipliziert und die Gleichung wird nach dem Parameter aufgelöst:
Durch Einsetzen dieser Beziehung in kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Geraden.
Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.
zusätzliche graphische Darstellung
und
Lösung anzeigen
Einsetzen von in , den Parameter finden und einsetzen, um eine Schnittgerade zu bestimmen.
Die Ebene in Koordinatenform lautet:
Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
und
Einsetzen in :
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind. (Die Ebenen liegen aufeinander.)
zusätzliche graphische Darstellung
und
Lösung anzeigen
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
3) Setze die Gleichungen für , und in die Koordinatenform von ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
3) Setze die Gleichungen für , und in die Koordinatenform von ein.
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
zusätzliche graphische Darstellung
und
Lösung anzeigen
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
3) Setze die Gleichungen für , und in die Koordinatenform von ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene die Gleichungen für die Koordinaten , und ab.
3) Setze die Gleichungen für , und in die Koordinatenform von ein.
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Setze nun die Gleichung in die Ebenengleichung ein und fasse zusammen:
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen und ist eine Gerade mit der Gleichung
zusätzliche graphische Darstellung
