In einer Bar gibt es jeden Samstag Abend ein Würfelspiel. Hierbei kann der Barbesucher seinen bestellten Cocktail umsonst trinken, wenn er gewinnt.
Die Regeln sind einfach: Barkeeper und Kunde würfeln einen sechsseitigen, nichtgezinkten Würfel.
Würfelt der Besucher eine höhere Zahl als der Barkeeper, gewinnt er.
Wie oft muss ein Besucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf einen Gratis-Cocktail bei mindestens 80% liegen?
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Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Barbesucher das Spiel gewinnt:
Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 6, wenn der Barkeeper eine 1-5 würfelt.
Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 5 wenn der Barkeeper eine 1-4 würfelt.
…
Der Spieler gewinnt bei einer eigenen 2, wenn der Barkeeper eine 1 würfelt.
Der Spieler verliert bei einer eigenen 1 immer.
Von insgesamt 36 Würfelkombinationen, gewinnt der Spieler bei Würfelkombinationen.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit eines Barbesuchers bei einem Spiel beträgt also .
Wie oft muss ein Barbesucher würfeln, damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei mehr als 80% liegt?
Der Kunde gewinnt einen Cocktail, wenn der Barkeeper einmal nicht gewinnt.
Der Barkeeper hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit .
Wir suchen also eine natürliche Zahl , die angibt, nach wie vielen Versuchen ein durchgängiger Sieg des Barkeepers unwahrscheinlicher als ist.
In mathematischer Schreibweise: Gesucht ist eine natürliche Zahl , sodass .
Lösung mit dem Logarithmus:
.
Antwort: Der Kunde muss somit mindestens 3 Spiele spielen.
Eine Gruppe von 5 Personen trinken an einem Samstag 10 Cocktails. Wie wahrscheinlich ist es, dass
AKein Cocktail gewonnen wird?
BGenau drei Cocktails gewonnen werden?
CMehr als drei Cocktails gewonnen werden?
DGenau neun Cocktails gewonnen werden?
EAlle zehn Cocktails gewonnen werden?
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Zufallsgröße : Anzahl der Gewinne
Länge der Bernoullikette:
Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (einen Cocktailgewinn):
zu A:
Anzahl der Gewinne:
zu B:
Anzahl der Gewinne
.
zu C:
Anzahl der Gewinne
Berechnung über das Gegenereignis.
und haben wir in 1 und 2 berechnet. Es fehlen also nur noch und .
Setze alle berechneten Wahrscheinlichkeiten ein.
zu D:
Anzahl der Gewinne
zu E:
Anzahl der Gewinne
Wie oft muss die Gruppe das Spiel mit dem Barkeeper spielen, damit sie zu mindestens 95% Wahrscheinlichkeit zehn Cocktails gewinnen?
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Die Gruppe soll zu mindestens 95% Wahrscheinlichkeit zehn Cocktails gewinnen. Da in der Angabe nicht die Rede von genau 10 Cocktails ist, dürfen sie auch mehr als 10 Cocktails gewinnen.
Gesucht ist also die Anzahl der Würfe , sodass ist.
Zur leichteren Berechnung kannst du die Gleichung auch über das Gegenereignis ausdrücken.
Drücke die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis aus.
Umformung: -0,95+P(X<10)
Löse nach auf.
ist händisch umständlich zu rechnen, da ist.
Du kannst den Ausdruck aber mithilfe des Taschenrechners für verschiedene Werte von berechnen.
Gesucht ist die kleinste Zahl , für die kleiner als ist. Probiere so lange Werte aus, bis du gefunden hast.
Beispiel für die Eingabe in einen Casio Taschenrechner
Wenn du in einem Casio Taschenrechner z.B. für berechnen willst, musst du folgendes eingeben:
So ein Herantasten an die Lösung kann z.B. so aussehen:
10 | 99,99% |
50 | 0,03% |
25 | 35,91% |
30 | 13,26% |
35 | 3,81% |
32 | 8,27% |
33 | 6,44% |
34 | 4,97% |
Durch Probieren hast du so herausgefunden, dass sein muss.
Antwort: Bei 34-maligem Werfen ist die Wahrscheinlichkeit mindestens (mindestens) 10 Cocktails zu gewinnen. Die Gruppe muss also mindestens 34 Mal Würfeln.
Der durchschnittliche Preis für einen Cocktail beträgt 6,90€. Die Kosten für diesen inklusive dem Lohn für den Barkeeper sind für den Betreiber der Bar etwa 4€. Ein durchschnittlicher Gast trinkt 1,5 Cocktails. An einem Freitag (ohne dieses Angebot) trinken die Gäste am Abend etwa 120 Cocktails.
Wie viele Gäste mehr müssen durch das besondere Spiel angelockt werden, damit sich dieses für den Betreiber der Bar lohnt?
Ein Gast ist ein Halunke, der mogelt. Er nutzt die Unaufmerksamkeit des Kellners aus, indem er seinen Wurf zunächst unter dem Würfelbecher heimlich betrachtet und bei einer gewürfelten 1-3 den Würfel nochmal unbemerkt würfelt.
Wie ist nun seine Gewinnchance?