Ein Versandhaus verschickt seine Artikel weltweit als Päckchen der Deutschen Post AG (DHL) mit deren Gebührenordnung für quaderförmige Päckchen international. Aus verpackungstechnischen Gründen des Versandhauses ist die Länge einer Seite mit festgelegt.
Die Päckchen müssen Mindestmaße einhalten.
Für die Maximalgröße ist beim Tarif Päckchen international die Summe aus Länge, Breite und Höhe begrenzt und keine der Seiten darf länger als sein.
Das Maximalgewicht für Päckchen ist .
Bestimme für ein Volumen von den Zusammenhang von Breite und Höhe.
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Die Aufgabe verlangt die Lösung einer quadratischen Ungleichung.
Für das Volumen eines quaderförmigen Päckchens mit den Seiten gilt:
Da gilt und ergibt sich:
.
Somit gilt:
Also:
.
Betrachtet man die Größe als unabhängige und als abhängige Variable, so ist der Zusammenhang der beiden Päckchenseiten und der einer gebrochenrationale Funktion.
Der Definitionsbereich dieser Funktion - d.h. welche Werte für in Frage kommen - bestimmt sich nun durch die Größenbegrenzungen in den Tarifbestimmungen der Post.
Mit der vorgegebenen Seitenlänge ergibt sich für die zulässige Summe der drei Päckchenmaße die Ungleichung:
Umformung: -35
Umformung: -b
Setzt man in die Volumengleichung ein, so ergibt sich die Ungleichung
So löst man die sich ergebende quadratische Ungleichung:
Umformung: :35
ausmultiplizieren
Umformung: -55b\ +\ b^2
Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:
Damit ist die gesuchte Lösungsmenge der das Intervall zwischen den beiden Nullstellen, da der quadratische Term eine nach oben geöffnete Parabel ergibt.
Der gesuchte Zusammenhang zwischen Breite und Höhe der Postpäckchen mit dem Volumen ist mit folgender Funktion beschrieben:
Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Gleitpunktes an dessen Koordinaten die Breiten- und Höhenwerte aller in Frage kommenden Päckchen mit dem Volumen ablesen.
Keine Seite der Päckchen überschreitet dabei die zusätzliche Begrenzung von .
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Wie groß ist das für eine vorgegebene Seitenlänge von erreichbare maximale Volumen eines Päckchens?
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Bei dieser Teilaufgabe handelt es sich um eine Extremwertbestimmung mit der Zielfunktion des Volumens eines Quaders.
Zielfunktion
wenn , und die Maße für Länge, Breite und Höhe der Päckchen sind.
Nebenbedingungen sind:
- Der maximale Wert der Summe aus Länge, Breite und Höhe beträgt .Also: .Somit :
Damit ergibt sich durch Einsetzen von und in :
bzw.
Interpretation der Zielfunktion:
V ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von ergibt somit ein absolutes Maximum von .
Gemäß den Tarifbestimmungen git für den Definitionsbereich von :
:
Umformung: -1925
Umformung: :\ -70
Ergebnis:
Bei einer vorgegebenen Seitenlänge von kann bei DHL im Tarif Päckchen international ein quaderförmiges Päckchen bis zu einem Volumen von rund versandt werden.
Verallgemeinere die Teilaufgabe b) indem du zeigst, dass für jede vorgegebene zugelassene Päckchenseitenlänge das Päckchen mit dem größtmöglichen Volumen einen quadratischen Querschnitt besitzt.
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mit sei die vorgegebene Seitenlänge.
Zielfunktion
Nebenbedingung
in einsetzen:
bzw.
Interpretation der Zielfunktion:
mit ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph ist demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von ergibt somit ein maximales Volumen.
Umformung: - l(90-l)
Umformung: :(-2l)
in die 2. Nebenbedingung eingesetzt ergibt:
Ergebnis
Bei einer beliebig vorgegebenen zulässigen Päckchenseite sind beim zugehörigen volumenmäßig größten Päckchen die beiden anderen Seiten gleich lang. Das heißt, dieses Päckchen hat einen quadratischen Querschnitt.
Gibt die Funktion für das maximale Volumen eines Päckchens in Abhängigkeit von einer vorgegebenen zulässigen Päckchenseitenlänge an.
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Aus der Teilaufgabe c) ergibt sich für volumenmäßig größte Päckchen in Abhängigkeit der gegebene Seitenlänge :
mit
eingesetzt ergibt die gesuchte Funktion:
Interpretation des Ergebnisses
Die volumengrößten Päckchen, die sich bei Vorgabe einer Päckchenseite ergeben, folgen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.
Deren Maximum ergibt sich für mit .
Für dieses Päckchen erhält man . Somit einen Würfel.
Die nachfolgende Zeichnung fasst die Ergebnisse zusammen.
