Bestimme die Ableitung der nachfolgenden Funktionen mithilfe der Kettenregel.
Lösung anzeigen
In dieser Aufgabe sollst du eine verkettete Wurzelfunktion mithilfe der Kettenregel ableiten.
Lösungsvariante 1: Ableiten nach Anwendung der Potenzgesetze
In dieser Lösungsvariante wirst du das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten nutzen, um die Wurzelfunktion als Potenz zu schreiben. Im Anschluss wirst du sie mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ableiten.
Schreibe die Wurzel als Potenz um.
Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:
Äußere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Innere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:
Setze die Funktionen und ein.
Kürze den Faktor .
Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den ersten Faktor als Bruch zu schreiben.
Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
Die Ableitung der Funktion ist somit .
Lösungsvariante 2: Direkte Anwendung der Ableitungsregel für Wurzelfunktionen
In dieser Lösungsvariante wirst du die Ableitungsregel der Wurzelfunktion direkt mit der Kettenregel kombinieren.
Was ist bei dieser Lösungsvariante zu beachten?
Für Quadratwurzeln (keine n-ten Wurzeln höherer Ordnung) bietet sich diese Methode an, wenn du die Ableitungsregel für Quadratwurzeln auswendig kannst. In allen anderen Fällen ist die erste Lösungsvariante sicherer.
Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:
Äußere Funktion
Benutze die Ableitungsregel für Wurzelfunktionen.
Innere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:
Setze die Funktionen und ein.
Ziehe den hinteren Faktor in den Zähler.
Kürze den Faktor .
Die Ableitung der Funktion ist somit .
Lösung anzeigen
In dieser Aufgabe sollst du eine verkettete Wurzelfunktion mithilfe der Kettenregel ableiten.
Lösungsvariante 1: Ableiten nach Anwendung der Potenzgesetze
In dieser Lösungsvariante wirst du das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten nutzen, um die Wurzelfunktion als Potenz zu schreiben. Im Anschluss wirst du sie mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ableiten.
Schreibe die Wurzel als Potenz um.
Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:
Äußere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Innere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:
Setze die Funktionen und ein.
Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den mittleren Faktor als Bruch zu schreiben.
Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
Klammere den gemeinsamen Faktor im Zähler aus.
Kürze den Faktor .
Die Ableitung der Funktion ist somit .
Lösungsvariante 2: Direkte Anwendung der Ableitungsregel für Wurzelfunktionen
In dieser Lösungsvariante wirst du die Ableitungsregel der Wurzelfunktion direkt mit der Kettenregel kombinieren.
Was ist bei dieser Lösungsvariante zu beachten?
Für Quadratwurzeln (keine n-ten Wurzeln höherer Ordnung) bietet sich diese Methode an, wenn du die Ableitungsregel für Quadratwurzeln auswendig kannst. In allen anderen Fällen ist die erste Lösungsvariante sicherer.
Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:
Äußere Funktion
Benutze die Ableitungsregel für Wurzelfunktionen.
Innere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:
Setze die Funktionen und ein.
Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
Klammere den gemeinsamen Faktor 222 im Zähler aus.
Kürze den Faktor .
Die Ableitung der Funktion ist somit .
Lösung anzeigen
In dieser Aufgabe sollst du eine verkettete Wurzelfunktion mithilfe der Kettenregel ableiten. Du wirst das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten nutzen, um die Wurzelfunktion als Potenz zu schreiben. Im Anschluss wirst du sie mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ableiten.
Schreibe die Wurzel als Potenz um.
Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:
Äußere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Innere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:
Setze die Funktionen und ein.
Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den mittleren Faktor als Bruch zu schreiben.
Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
Die Ableitung der Funktion ist somit .
Lösung anzeigen
In dieser Aufgabe sollst du eine verkettete Wurzelfunktion mithilfe der Kettenregel ableiten. Du wirst das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten nutzen, um die Wurzelfunktion als Potenz zu schreiben. Im Anschluss wirst du sie mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ableiten.
Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz um.
Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den Nenner umzuformen.
Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:
Äußere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Innere Funktion
Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel um die Ableitung zu bestimmen:
Setze die Funktionen und ein.
Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den mittleren Faktor als Bruch zu schreiben.
Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
Kürze den Faktor .
Die Ableitung der Funktion ist somit .