Die Abbildung zeigt eine Raute mit der Seitenlänge und einem Innenwinkel .
Stellen Sie die Katheten und der rechtwinkligen Teildreiecke der Raute mithilfe von und dar und zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt der Raute gilt: .
(2 BE)
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Berechnungen mit Sinus und Cosinus
Du betrachtest eines der vier kleinen rechtwinkligen Dreiecke. Ordne als erstes , und die Begriffe Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete im Bezug zum Winkel zu.
ist die Hypotenuse, weil sie gegenüber vom rechten Winkel liegt.
ist die Ankathete, da sie an dem Winkel liegt.
ist die Gegenkathete, da sie gegenüber des Winkel liegt.
Du sollst und durch und ausdrücken. Dafür kannst du die Formeln für Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck nutzen:
und
Du kannst die gegebenen Bezeichungen in die Formeln einsetzen und jeweils nach und auflösen.
und genauso
Flächeninhalt der Raute
Die Raute besteht aus vier gleich großen Dreiecken mit Grundseite und Höhe . Also kann man für den Flächeninhalt der Raute den Flächeninhalt des Dreiecks mit multiplizieren.
Nun kannst du und durch die Terme ersetzen, die du oben gefunden hast.
Damit hast du den Term erhalten, der in der Aufgabenstellung gegeben ist.
Zeigen Sie die Gültigkeit der Gleichung
indem Sie den Flächeninhalt der Raute erneut berechnen, nun aber mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms. (1 BE)
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Du sollst den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen. Dazu musst du die Grundseite mit der Höhe multiplizieren. Die Höhe kennst du noch nicht.
Du weißt allerdings, dass sie immer senkrecht auf der Grundseite steht. Damit erhältst du ein rechtwinkliges Dreieck mit dem lilanen Winkel , der Hypotenuse (die gegenüber des rechten Winkels liegende Rautenseite) und als Gegenkathete die gesuchte Höhe .
Das heißt, du kannst wieder den Sinus verwenden.
Nach umgestellt ergibt sich:
Nun kannst du den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen:
Als nächstes kannst du die beiden Varianten aus a) und b), den Flächeninhalt zu berechnen gleich setzen und nach umstellen.
Jetzt hast du die gewünschte Gleichung erhalten und du bist fertig.