Betrachte die Graphen der Potenzfunktionen im . Quadranten. Für - Werte zwischen und liegt der Graph einer Potenzfunktion höheren Grades unterhalb des Graphen einer Potenzfunktion niederen Grades. Für ist das genau umgekehrt.
Begründe dieses Verhalten.
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x-Werte zwischen 0 und 1
Die -Werte liegen im Bereich:
Wenn man zwei gleiche Zahlen, die zwischen und liegen, miteinander multipliziert, ist das Ergebnis kleiner als der Wert der zwei gleichen Zahlen. Wenn man das Produkt der zwei Zahlen wieder ein oder mehrmals mit dem gleichen Wert wie dem der anfänglichen zwei Zahlen multipliziert, nimmt das Ergebnis immer mehr ab. Deshalb liegen Funktionen mit größerem Exponenten im Bereich .
Vergleiche die Funktionen und .
Setze für die Zahl ein.
Setze die Zahlt für in die Funktion ein.
ist tatsächlich kleiner als . Somit liegt oberhalb von .
x-Werte größer 1
Wenn man zwei gleiche Zahlen, die größer als sind, miteinander multipliziert, ist das Ergebnis größer als der Wert der zwei gleichen Zahlen. Wenn man das Produkt wieder ein oder mehrmals mit dem gleichen Wert wie dem der zwei anfänglichen Zahlen multipliziert, nimmt das Ergebnis immer mehr zu. Deshalb liegen Funktionen mit größerem Exponenten im Bereich über Funktionen mit kleinerem Exponenten.
Vergleiche die Funktionen und .
Setze für die Zahl ein.
Setze die Zahl für in die Funktion ein.
ist tatsächlich größer als . Somit liegt oberhalb von .