Bei einer Sportveranstaltung wird ein Dopingtest durchgeführt. Wenn ein Sportler gedopt hat, dann fällt der Test zu 99 positiv aus.
Hat ein Sportler aber nicht gedopt, zeigt der Test trotzdem zu 5% ein positives Ergebnis an. Aus Erfahrung weiß man, dass 20 der Sportler gedopt sind.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ausfällt.
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Die Ereignisse
Lege die Ereignisse fest.
"Positives Testergebnis"
"Sportler hat gedopt"
Gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten
In der Angabe findest du bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler gedopt hat, ist .
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler nicht gedopt hat ist .
Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, ist .
Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit
Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, also .
Rechne mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus. Berechne dazu zunächst die noch fehlende Wahrscheinlichkeit . Dies ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von D, also .
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl der Sportler gedopt hat.
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Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält, also P.
Verwende einen Satz über die Summe bedingter Wahrscheinlichkeiten.
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält, beträgt 1 %.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, wenn seine Dopingprobe negativ ausgefallen ist.
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Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist, ist .
Der Satz von Bayes besagt:
Entnehme zur Berechnung von aus den Teilaufgaben a) und b) die schon berechneten Wahrscheinlichkeiten und . Berechne noch über das Gegenereignis.
Setze nun die benötigten Angaben ein.
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist, beträgt 0,26 %.