Du hast die Bruchgleichung:
gegeben. Löse diese Bruchgleichung.
Lösung anzeigen
Die Lösung dieser Aufgabe kannst du im folgenden Text lesen oder einem Video weiter unten ansehen.
Definitionsmenge bestimmen
Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.
Wie du dich vielleicht erinnerst, entseht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner werden würde. Man darf nämlich nicht durch teilen.
Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich :
Nenner des ersten Bruchs
Umformung: +1
Also wird dieser Nenner 0 für x=1
Der Nenner des zweiten Bruchs:
Also wird dieser Nenner 0 für x=0
Der Nenner des dritten Bruchs:
Umformung: -1
Also wird dieser Nenner für
Du erkennst also, dass hier , und die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.
Somit ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung:
.
Gleichung bruchterm-frei machen
Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, mithilfe des Hauptnenners.
wird zu:
Jetzt multiplizieren wir die Gleichung mit dem Hauptnenner und erhalten:
Ausmultiplizieren der Klammern
Gleichung lösen
Jetzt bestimmst du die möglichen Lösungen dieser Gleichung mit der Mitternachtsformel:
Die möglichen Lösungen sind also:
Als letzter Schritt ist es wichtig zu überprüfen, ob alle Lösungen im Definitionsbereich liegen.
Der Definitionsbereich ist und , genauso wie liegen in .
Also sind und die Lösungen der Bruchgleichung .
Lösung der Aufgabe in einem Video
Du kannst in folgendem YouTube-Video die Lösung von Robert Plötz auch nachvollziehen:
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}