Gegeben ist die Funktion f mit dem Graphen , der Definitionsmenge und dem Funktionsterm .
Bestimme die Koordinaten der Punkte, an denen die lokale Änderungsrate den Wert 1 hat.
Lösung anzeigen
Die lokale Änderungsrate wird mithilfe der 1. Ableitung berechnet. Es sind also die Lösungen der Gleichung gesucht
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Die erste Ableitung lautet
Gleichung lösen
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
Umformung: -1
Mithilfe der Mitternachtsformel finden sich die Lösungen:
und somit 0,5 und .
Koordinaten
Da die Punkte gefragt sind und nicht die Stellen, müssen noch die y-Werte berechnet werden:
Untersuche, ob es eine Stelle lokal stärkster Zu- oder Abnahme gibt.
Lösung anzeigen
Ein Hochpunkt von , der oberhalb der x-Achse liegt, ist eine Stelle lokal stärkster Zunahme. Ein Tiefpunkt unterhalb der x-Achse ist eine Stelle lokal stärkster Abnahme.
Die Kandidaten für Extrempunkte der 1. Ableitung sind die Nullstellen der 2. Ableitung.
Ableiten
Die zweite Ableitung lautet
Nullstellen der 2. Ableitung
Umformung: -3
Umformung: :12
Art der Extremstelle über 3. Ableitung
Mithilfe der 3. Ableitung lässt sich die Art der Extremstelle von bestimmen.
Setze die Nullstelle der 2. Ableitung ein:
Tiefpunkt von
Lage des Tiefpunkts
Setze nun noch in ein, um zu überprüfen, ob der Tiefpunkt von unterhalb der x-Achse liegt. Nur dann handelt es sich um eine Stelle lokal stärkster Abnahme (sonst: lokal schwächste Zunahme).
Tiefpunkt unterhalb der x Achse Stelle lokal stärkster Abnahme.