Gegeben sind die Kugeln und
Zeige, dass sich die beiden Kugeln außen in einem Punkt berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene der beiden Kugeln.
Lösung anzeigen
Wenn zwei Kugeln sich außen berühren sollen, dann muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich der Summe der beiden Kugelradien sein.
Zur Berechnung des Berührpunktes erstellst du eine Vektorgleichung mit .
Für die Berechnung der Tangentialebene benutze den Vektor und einen Punkt der Ebene (hier den Berührpunkt ).
Kugeln berühren sich
Berechne den Vektor und dann seinen Betrag .
und
Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt und die Summe der beiden Kugelradien beträgt auch .
Die beiden Kugeln berühren sich außen.
Berechnung von
Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:
Dabei ist
Dabei ist , und .
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten .
Berechnung von Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt ) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.
Setze und ein.
Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene.
Umwandlung in die Koordinatenform.
Berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache.
Vereinfache.
Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene lautet: bzw. Tangentialebene als Koordinatengleichung:
Alternative Berechnung der Tangentialebene
Setze den Berührpunkt und den Mittelpunkt der Kugel in die Gleichung für die Tangentialebene ein.
Setze und ein.
Vereinfache.
Das ist die Normalenform der Tangentialebene.
Umwandlung in die Koordinatenform.
Berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Umformung: \cdot\dfrac{5}{2}
Beseitige die Brüche.
Antwort: Die Gleichung der Tangentialebene lautet:
Graphische Darstellung
Die Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur zur Veranschaulichung.
