Gegeben ist der nebenstehende Graph der Funktion . Bestimme die Funktionsgleichung in Nullstellenform.
Lösung anzeigen
Bestimmung der Nullstellenform am Graphen
(Verwende wieder das oben beschriebene Schema:)
Zuerst sind die Nullstellen des Graphen zu bestimmen. Du siehst, dass genau eine Nullstelle existiert, deren Vielfachheit ist. Es liegt also der 2. Fall vor und die Funktionsgleichung ist von der Form
mit dem Öffnungsfaktor .
Als nächstes ist der Öffnungsfaktor zu bestimmen. Dafür kannst du zwischen zwei unterschiedlichen Vorgehensweisen wählen:
1. Variante
Der Öffnungsfaktor kann ausgehend vom Scheitelpunkt und dem Punkt abgelesen werden.
Du erhältst .
Die Nullstellenform der Funktion lautet also:
2. Variante
Abgesehen von kannst du die Nullstellenform bereits abgeben. Sie lautet:
Setze jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist. Dann kannst die Gleichung nach aufgelösen und erhältst so den gesuchten Öffnungsfaktor.
Wähle zum Beispiel den Punkt : Dieser liegt auf dem Graphen und ist keine Nullstelle, weil die zweite Koordinate ungleich Null ist. Setze also in die Funktionsgleichung ein und löse nach auf:
.
Die Nullstellenform der Funktion lautet also:
.