Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt . Der Punkt liegt auf der Kugel.
a) Der Punkt liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von . (3 BE)
b) Weisen Sie nach, dass die Kugel die -Ebene berührt. (2 BE)
Lösung anzeigen
Teilaufgabe a)
Zur Lösung der Aufgabe genügt es eine Vorstellung von der Lage der 3 Punkte , und zu haben. Vielleicht machst Du Dir dazu eine Planfigur, ähnlich der nachfolgenden Abbildung:
Zum Punkt zeigt der Ortsvektor :
Das Vorgehen ist übrigens genauso, wie bei der Bestimmung des Spiegelpunkts bei Spiegelung an einem gegebenen Punkt.
Teilaufgabe b)
Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein Verständnis der besonderen Ebenen, hier der Koordinaten-Ebenen, erforderlich und natürlich das Vorstellungsvermögen von der gegenseitigen Lage der typischen Objekte im Dreidimensionalen.
-Koordinatenebene
Das kennzeichnende dieser Koordinatenebene ist, dass ihre -Koordinate 0 ist, der Rest ist unbestimmt ("egal"). Genauso schreibt man es hin: .
Abstand von der -Koordinatenebene
Wenn die Kugel die -Ebene gerade berührt, dann muss der Mittelpunkt der Kugel gerade in der Entfernung des Kugelradius von der -Ebene sein. Die -Koordinate des Mittelpunkts beträgt . Der Mittelpunkt ist also Längeneinheiten von der -Ebene entfernt.
Die nachfolgende Skizze zeigt, wie man sich den Zusammenhang mit einer einfachen Planfigur klar machen kann:
Bleibt noch zu zeigen, dass der Kugelradius auch gerade den Wert hat:
Bestimmung des Kugelradius
Hierzu wird der Abstand des Punktes vom Kugelmittelpunkt berechnet:
Der Radius der Kugel ist also genauso groß wie die -Koordinate ihres Mittelpunkts. Damit ist die Behauptung bewiesen.