In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:
- Zwei Seiten liegen auf dem Koordinatenachsen.
- Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen der Funktion mit .
Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.
Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.
Lösung anzeigen
Um die Seitenlängen des Rechtecks zu berechnen gehst du folgendermaßen vor:
Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt:
Sei die Grundseite gerade und die Höhe gerade der Funktionswert .
- Leite den Flächeninhalt des Rechtecks ab.
- Setze die Ableitung gleich null um die Stelle des Maximums zu erhalten.
- Prüfe durch Berechnung der zweiten Ableitung, ob das Extremum tatsächlich ein Maximum ist. Es muss gelten:
- Die Seitenlängen ergeben sich durch den Wert des Maximums und durch den Funktionswert an der Stelle des Maximums.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gegeben durch:
Hier ist die Grundseite gerade und die Höhe gerade der Funktionswert :
Ableiten des Flächeninhalts :
Überprüfung der Art des Extremum:
Also ist bei ein Maximum und der Flächeninhalt des Rechtecks dort maximal.
Die Länge der zweiten Seite ist gerade
Die Seitenlängen des Rechtecks sind dann gerade und .