Die folgenden Punkte , und sind gegeben. Überprüfe, ob sie ein Dreieck bilden.
, und
Lösung anzeigen
Die drei Punkte und bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte und liegt. Erstelle die Geradengleichung und prüfe, ob ist, d.h. der Punkt darf nicht auf der Geraden liegen.
Die Formel für die Geradengleichung lautet:
Der Aufpunkt ist:
Der Richtungsvektor ist:
wird in die Geradengleichung eingesetzt:
Zeilenweise erhalten wir daraus drei Gleichungen:
Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei unterschiedliche Werte für . Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden .
Daraus folgt, dass es sich hierbei um ein Dreieck handelt.
Alternative Rechnung
Die drei Punkte bilden nur dann kein Dreieck, wenn sie auf einer Geraden liegen. Dazu müssten die Vektoren und Vielfache voneinander sein.
Du erkennst direkt, dass dieser Vektor kein Vielfaches des oben berechneten Vektors ist, da die erste Komponente von Null ist und daher das Nullfache von sein müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.
, und
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Die drei Punkte und bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte und liegt. Erstelle die Geradengleichung und prüfe, ob ist, d.h. der Punkt darf nicht auf der Geraden liegen.
Die Formel für die Geradengleichung lautet:
Der Aufpunkt ist:
Der Richtungsvektor ist:
wird in die Geradengleichung eingesetzt:
Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei gleiche Werte für . Somit liegt der Punkt auf der Geraden . Daraus folgt, dass es sich hierbei nicht um ein Dreieck handelt.