Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) - Beweis
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Für jeden von und verschiedenen Punkt auf dem Fasskreis der Sehne gilt:
- Der Randwinkel bei ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel .
- Der Randwinkel bei ist gleich dem Sehnen-Tangentenwinkel .
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Lösung
Voraussetzung
FasskreisbogenStrategie
Schritte
- Die Dreiecke , und sind gleichschenklig und haben somit gleiche Basiswinkel.In gilt: . (Zu benutzender Hilfswinkel.)In gilt: (Restwinkel an der Spitze ).In gilt: . (Aus der Winkelsumme im .)Die Ermittlung der Basiswinkel in den drei Dreiecken kannst du im nebenstehenden Applet mit der Navigationsleiste (unten) schrittweise nachvollziehen.
InteraktivIn GeoGebra öffnen ↗
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
- Winkelsummensatz für und Auflösung der Gleichung nach :
Zusammenfassen der linken Seite.
Der eingeführte Hilfswinkel fällt weg.
- Berechnung des Sehnen-Tangentenwinkels Da die Tangente in auf dem Radius senkrecht steht gilt:
- Ergänzung zum Beweis:Liegt der Scheitel von auf dem kürzeren Kreisbogen über der Sehne , dann verläuft der Beweis - trotz der etwas anderen gegenseitigen Lage der Dreiecke - ganz entsprechend.