Eine Handelskette hat noch zahlreiche Smartphones des Modells Y3 auf Lager, als der Hersteller das Nachfolgemodell Y4 auf den Markt bringt. Der Einkaufspreis für das neue Y4 beträgt 300€, während die Handelskette für das Vorgängermodell im Einkauf nur 250€ bezahlen musste. Um die Lagerbestände noch zu verkaufen, bietet die Handelskette ab dem Verkaufsstart des Y4 die Smartphones des Typs Y3 für je 199€ an. Aufgrund früherer Erfahrungen geht die Handelskette davon aus, dass von den verkauften Smartphones des Typs Y3 und Y4 trotz des Preisnachlasses nur 26% vom Typ Y3 sein werden. Berechnen Sie unter dieser Voraussetzung, zu welchem Preis die Handelskette das Y4 anbieten muss, damit sie voraussichtlich pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 im Mittel 97€ mehr erhält, als sie beim Einkauf dafür zahlen musste. (4 BE)
Lösung anzeigen
Wenn die Handelskette ein Smartphone verkauft, ist es entweder von Typ Y3 oder Typ Y4. Es handelt sich also um ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen. Wir definieren die Zufallsgröße als "Gewinn bei einem verkauften Smartphone in Euro". ordnet also jedem Ergebnis eine Zahl zu, den beim Verkauf erzielten Gewinn.
Die Handelskette möchte "voraussichtlich […] im Mittel" einen Gewinn von 97 € pro verkauftem Smartphone erzielen. Dieser voraussichtliche durchschnittliche Gewinn entspricht dem Erwartungswert von , .
Berechnung von E(X)
ist eine diskrete Zufallsgröße. Das bedeutet, dass nur endlich viele Werte annehmen kann, nämlich irgendeinen ganzzahligen Gewinn in Euro. Den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße bestimmst du so: Multipliziere zuerst alle möglichen Werte, die annehmen kann, mit ihrer Wahrscheinlichkeit. Summiere anschließend alle Produkte auf.
Verkauft die Handelskette ein Smartphone vom Typ Y3, macht sie einen Gewinn von 199 € - 250 € = -51 €. Sie verkauft für 199 €, musste aber im Einkauf 250 € bezahlen. Ingesamt erzielt sie einen negativen Gewinn, macht also einen Verlust. X nimmt den Wert -51 an. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Smarpthone von Typ Y3 verkauft wird, ist gegeben als 26 %, also 0,26.
Verkauft die Handelskette ein Smartphone vom Typ Y4, macht sie einen Gewinn von p € - 300 €, wenn der gesuchte Verkaufspreis ist. X nimmt den Wert p-300 an. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Smartphone vom Typ Y4 verkauft wird, ist die Gegenwahrscheinleichkeit der Wahrscheinlichkeit, dass ein Smartphone vom Typ 3 verkauft wird. Sie liegt also bei 1 - 0,26 = 0,74.
Stelle nun mit allen Informationen eine Gleichung auf und forme nach p um:
Antwort:Die Handelskette muss das Smartphone vom Typ Y4 zu einem Preis von 449 € anbieten, damit sie voraussichtlich pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 im Mittel 97€ mehr erhält, als sie beim Einkauf dafür zahlen musste.