Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Dreieck , dessen Eckpunkte auf der Kreislinie um den Punkt liegen; die Strecke verläuft durch . Die Gerade ist eine Tangente an den Kreis und berührt diesen im Punkt .
a) Gib die Größe des Winkels und die Größe des Winkels an. Nenne zu jeder Antwort ein begründendes Stichwort. (2 BE)
b) Marie hat herausgefunden, dass gilt. Ergänze sinnvoll, was sie einer Mitschülerin dazu erklären könnte: (2 BE)
Lösung anzeigen
Teilaufgabe a)
Da die Punkte und auf der Kreislinie um liegen, handelt es sich bei dem Dreieck um ein gleichschenkliges Dreieck mit den beiden Schenkeln und .
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich.
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt , das heißt
.
Damit siehst du:
Da Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks ist, ergibt sich .
Da die Winkelsumme im Dreieck beträgt, ergibt sich .
Teilaufgabe b)
Das Dreieck ABC hat bei C einen rechten Winkel, weil C auf dem Thaleskreis um M liegt und M der Mittelpunkt der Strecke AB ist.
Der Winkel
Der Winkel und müssen zusammen sein, weildie Gerade eine Tangente an den Kreis im Punkt ist.