Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die von der Zeltspitze ausgehenden Seitenkanten werden durch vier gleich lange Stangen gebildet. Das Zelt ist hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt . Das Zelt wird in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) modellhaft durch eine Pyramide mit der Spitze dargestellt. Der Punkt liegt im Koordinatenursprung, hat die Koordinaten . Der Punkt liegt auf der -Achse, auf der -Achse. Das Dreieck liegt in der Ebene . Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Geben Sie die Koordinaten der Punkte und an und zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem ein. (3 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene , in der das Dreieck liegt, in Normalenform. (3 BE)
(mögliches Ergebnis: )
Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie die Größe des Winkels. (3 BE)
Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, der im Modell die Lichtquelle darstellt. (4 BE)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Symmetrieachse des Dreiecks . (2 BE)
Ein Teil der Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck dargestellt wird, kann mithilfe zweier vertikal stehender Stangen der Länge zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende breite Öffnung in der Zeltwand wird im Modell durch ein Rechteck dargestellt, dass symmetrisch zu liegt. Dabei liegt eine Seite dieses Rechtecks auf der Strecke . Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vordachs. (5 BE)
Lösung anzeigen
Lösung zur Teilaufgabe a)
Ermittlung von und
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Quadrat mit der Ecke im Ursprung und der Ecke bei . Da auf der -Achse liegt, sind die -Koordinate und die -Koordinate Null. Die -Koordinate muss sein, damit die Grundfläche quadratisch ist. Also hat die Koordinaten . Zur Ermittlung des Punkts kannst du ähnlich vorgehen und erhältst die Koordinaten .
Zeichnen der Pyramide
Trage jetzt die Punkte , , , und in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein und verbinde sie zur Pyramide .
Lösung zur Teilaufgabe b)
Du kannst die Ebene durch die drei Punkte , und aufstellen. Berechne zunächst den Normalenvektor der Ebene .
Berechnung des Normalenvektors
Durch Kürzen erhältst du den Normalenvektor .
Bestimmung der Ebenengleichung
Diesen kannst du in die allgemeine Ebenengleichung in Normalform einsetzen. kannst du als Aufpunkt benutzen. Durch Ausmultiplizieren erhältst du die gewünschte Koordinatenform.
Lösung zur Teilaufgabe c)
Der Winkel zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren der Ebenen.
Ermittlung der Normalenvektoren
Den Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Ebenengleichung ablesen, er ist . Der Normalenvektor der Ebene ist (in Teilaufgabe b) berechnet).
Berechnung des Winkels
Benutze nun die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren.
Lösung zur Teilaufgabe d)
Vorüberlegungen
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität, die Lichtquelle (hier genannt ) soll also von allen Zeltwänden eine halbe Längeneinheit entfernt sein. Damit die Lichtquelle von allen Wänden den gleichen Abstand hat, muss sie in der Mitte des Zelts hängen; sie hat also die Koordinaten . Wir kennen die Ebenengleichungen für zwei der Zeltwände, und .
Anwendung des Projektionsverfahren
Um den Abstand von zu (oder ) zu bestimmen, kannst du das Projektionsverfahren verwenden.Die Hesse-Normalform von ist:
Jetzt kannst du in die Formel zur Berechnung des Abstands einsetzen und nach auflösen.
oder
Für würde außerhalb des Zelts liegen, deshalb ist und hat die Koordinaten .
Um deine Antwort zu überprüfen, kannst du in die Hesse-Normalform von einsetzen.
Lösung zur Teilaufgabe e)
Da über der Mitte der Grundfläche der Pyramide liegt, ist das Dreieck gleichschenklig mit den Schenkeln und . Die Symmetrieachse muss also durch und den Mittelpunkt (hier genannt ) der Seite verlaufen. Stelle eine Gerade durch diese Punkte auf.
Berechnung des Mittelpunkts
Berechnung des Richtungsvektors
Als Richtungsvektor kannst du verwenden.
Aufstellen der Symmetriegerade
Setze den Richtungsvektor und einen Aufpunkt (entweder oder in die allgemeine Geradengleichung in der analytischen Geometrie ein.
Lösung zur Teilaufgabe f)
Die Fläche des Vordachs entspricht der Fläche des Eingangs. Eine Seitenlänge dieses Rechtecks ist bekannt ( Längeneinheiten), die andere Seitenlänge gilt es zu berechnen. Die Höhe des Eingangs ist , also auch Längeneinheiten. Da der Eingang symmetrisch zur Symmetriegerade ist, liegt die unbekannte Seite im rechten Winkel zur Strecke .
Berechne zunächst einen Punkt , der auf liegt und die Höhe besitzt. Dann kannst du den Abstand von zu der Gerade berechnen. Dieser Abstand ist die Länge der zweiten Seite.
Berechnung von
hat die Koordinaten . Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung von ein.
Die -Koordinate von kannst du frei wählen ( liegt für jede beliebige -Koordinate auf ); der Einfachheit halber wurde hier gewählt. hat dann die Koordinaten .
Berechnung des Abstands
Hierzu gibt es mehrere Möglichkeiten.
1. Möglichkeit
Bestimme die Gleichung der Gerade .
Benutze die Formel zur Bestimmung des Abstands.
2. Möglichkeit
Berechne den Lotpunkt von auf . Da auf der Gerade liegt, ist und . Da parallel zur Symmetriegerade liegt, muss die gleiche -Koordinate wie haben (). hat also die Koordinaten .Die zweite Seitenlänge ist die Länge der Strecke .
Berechnung des Flächeninhalts
Der Flächeninhalt ist: