Winkel gesucht
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Rechteck mit den Seitenlängen und .
Berechne den Winkel in ganzen Grad.
Hilfe: Wie fängt man bei dieser Aufgabe an?
Als Erstes wird ein Hilfsdreieck in die Skizze eingezeichnet.
Mit diesem Dreieck kann berechnet werden.
Lösung anzeigen
Lösung
Mache dir als Erstes eine Skizze.
Zeichne ein Rechteck und trage den Winkel ein.
Wenn du nun eine Strecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zum Mittelpunkt der Seite einzeichnest, dann wird durch diese Hilfslinie der gesuchte Winkel in zwei gleich große Teile geteilt.
Um den Winkel auszurechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten:
- Man kann mit dem Sinus ausrechnen, oder
- man kann mit dem Tangens berechnen.
Mathematisch einfacher ist die Lösung mit dem Tangens.
Lösung mit Hilfe des Sinus
Zunächst rechnen wir die Strecke von nach aus und erhalten dadurch ein rechtwinkliges Dreieck.
Um den Winkel auszurechen, teilen wir die Strecke von nach und die Strecke von nach jeweils durch Somit können wir den Sinus anwenden um auszurechnen. Danach multiplizieren wir den ausgerechneten Winkel mit und erhalten den gesuchten Winkel .
Alternative Lösung mit Tangens
Lösung mit Hilfe des Tangens
Betrachte das Dreieck . Dieses Dreieck ist rechtwinklig. Der Winkel bei ist wieder .
- Die Strecke ist die Ankathete zu .
- Die Strecke ist die Gegenkathete zu .
Daher ist also