Ein Schäfer möchte für seine Schafe eine rechteckige Weidefläche mit einem Zaun begrenzen.
Die Weidefläche grenzt direkt an eine Felswand.
Der Schäfer hat insgesamt je lange zusammensteckbare Zaunelemente zur Verfügung.
Ermittle die Abmessungen und so, dass die abgesteckte Fläche einen maximalen Flächeninhalt hat.
Quellen
Abb 1: https://pixabay.com/de/schaf-berg-ranch-japan-zaun-680217/
Lösung anzeigen
Lösung:
Der Inhalt der Fläche ist sowohl von als auch von abhängig.
Zielfunktion :
Der Zaun soll eine Länge von haben, deshalb muss die Summe der Zaunteilstücke betragen.
Nebenbedingung:
Die Nebenbedingung nach aufgelöst ergibt:
Setzt man in die Zielfunktion ein, so erhält man den Flächeninhalt in Abhängigkeit von :
ist nun eine quadratische Funktion der Rechtecksbreite .
Von dieser Funktion soll das Maximum bestimmt werden.
Dies kannst du auf folgende zwei Arten machen:
mit Scheitelpunktsbestimmung und mit dem Wissen über quadratische Funktionen
mit der Ableitung
Lösung zu a) mit Scheitelpunktsbestimmung
Der Koeffizient vor dem ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt ist ein Maximum.
Wir ermitteln die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung .
Klammere zuerst aus:
Der gemischte Term in der Klammer ist , d.h. die quadratische
Ergänzung ist .
Addiere in der Klammer und subtrahiere diesen Term gleich wieder:
Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen:
Löse die Klammer wieder auf:
Lies den Scheitelpunkt ab:
Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt
und der maximale Flächeninhalt .
Es fehlt noch die Angabe der Zaunlänge .
Setze in ein.
.
Antwort: Die Länge des senkrechten Zaunstückes beträgt .
Lösung zu b) mit der Ableitung
Der Definitionsbereich der Variablen ist das Intervall .
Für und für erhält man ein "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt ), d.h. eine Strecke der Länge .
Bedingung für ein Maximum: und
Die beiden Ableitungen lauten:
Setze gleich Null:
ist im Definitionsbereich von enthalten.
Da ist, handelt es sich um ein Maximum.
Es fehlt noch die Angabe der zweiten Zaunlänge .
Setze in ein:
Nun kann die maximale Fläche berechnet werden:
Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt , die Länge des senkrechten Zaunstückes ist und der maximale Flächeninhalt beträgt .