Ein Tetraeder hat eine Grundfläche, die durch die Eckpunkte , und festgelegt ist. Die Spitze liegt mittig über .
Bestimme mögliche Koordinaten von so, dass das Volumen des Tetraeders genau Volumeneinheiten () beträgt.
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Gegeben:
, ,
Überlege dir die Volumenformel.
Das Volumen kannst du mit der elementargeometrischen Formel rechnen.
Vektoriell kannst du das Volumen auch über diese Formel bestimmen:
Da du bisher nicht viele Informationen über den Punkt S hast, verwendest du am Besten die elementargeometrische Formel.
Grundfläche G berechnen
Bestimme zunächst die Vektoren und .
Setze in die Formel ein.
Berechne zuerst das Kreuzprodukt.
Berechne dann den Betrag des Vektors.
Jetzt hast du die Grundfläche der Pyramide!
Setze das gegebene Volumen und die Grundfläche ein.
Berechnung der Höhe
Löse die elementargeometrische Volumenformel nach auf.
Umformung: \cdot3
Umformung: :G
Setze das gegebene Volumen und die zuvor berechnete Grundfläche ein.
Setze und ein.
Bestimmen der Koordinaten von S
Bestimme den Höhenfußpunkt . Du weißt aus der Angabe, das die Spitze mittig über liegt.
Berechne den Mittelpunkt der Strecke .
,
Setze die Punkte und ein.
Bringe den Höhenvektor auf die richtige Länge
Das Vektorprodukt liefert dir nicht nur eine Fläche, sondern auch einen Vektor, der auf beide Vektoren der Grundfläche senkrecht steht. Diese Eigenschaft muss die Höhe haben!
Allerdings hat der Vektor noch nicht die richtige Länge!
Im Moment hat er die Länge , wir wollen nur .
Teile dafür durch die aktuelle Länge und multipliziere mit der gewünschten Länge.
Setze den Vektor an den Punkt
Welcher weitere Punkt erfüllt die Vorgabe, dass der Tetraeder ein Volumen von hat und als Höhenfußpunkt besitzt?
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Versuche dir die Situation erst vorzustellen:
Die Spitze des fertigen Tetraeders liegt über der Grundfläche .
Man bekommt das gleiche Volumen, wenn man vom Punkt aus nach unten statt nach oben geht.
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