Meetingpoints am Trapez
Wie bei anderen Vierecken sind auch beim Trapez der Schnittpunkt der Diagonalen und der Schwerpunkt von besonderer Bedeutung.
Im Trapez mit den Grundseiten und und der Höhe sei der Schnittpunkt der Diagonalen und der Schwerpunkt des Trapezes.
Der Schwerpunkt eines Trapezes liegt auf der Verbindungstrecke der Mittelpunkte der Grundseiten (Mittenlinie) und hat von der Grundseite den Abstand
Beweise, dass die Mittenlinie eines jeden Trapezes durch den Schnittpunkt der Diagonalen geht.
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Tipp: Eine geeignete zentrische Streckung mit dem Diagonlenschnittpunkt als Zentrum erzeugt das Trapez.
Die zentrische Streckung mit dem Zentrum und dem Streckungsfaktorbildet auf und - weil die Grundseiten des Trapezes parallel sind - auf ab.
Da bei einer zentrischen Streckung die Mittelpunktseigenschaft erhalten bleibt, ist der Bildpunkt von . Damit geht deren Verbindungsstrecke, die Mittenlinie des Trapezes, durch .
Der Diagonalenschnittpunkt eines Trapezes ist also tatsächlich ein richtiger "Meetingpoint" wichtiger Linien des Trapezes.
Begründe, dass der Schwerpunkt und der Diagonlenschnittpunkt zusammenfallen, wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird.
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Der Schwerpunkt eines Trapezes liegt auf der Mittellinie und sein y-Wert beträgt .
Wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird, gilt: .
Damit ergibt sich für den Schwerpunkt:
Beachte, dass im Parallelogramm für den Schnittpunkt der Diagonalen gilt:
,
da sich die Diagonalen halbieren.
Wenn das Trapez zu einem Parallelogramm wird, fallen also der Diagonalenschnittpunkt und der Schwerpunkt des Trapezes zusammen.
Im nachfolgenden Applet mit der Höhe liegt eine Grundlinie auf der x-Achse und alle Eckpunkte können längs der Grundlinien beliebig verschoben werden.
Überzeuge dich bei unterschiedlichen Trapezformen von den jeweiligen Lagen des Schwerpunkts.
Was passiert, wenn das Trapez nicht nur zu einem Parallelogramm "entartet", sondern zu einem Dreieck oder gar zu einer Strecke?(Ganz schön spannend - findest du nicht?)
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
So konstruiert man den Schwerpunkt eines Trapezes:
- Zeichne die Mittenlinie des Trapezes.
- Verlängere über hinaus um die Strecke zum Endpunkt .
- Verlängere über hinaus um die Strecke zum Endpunkt .
- Der Schnittpunkt von mit ist der Schwerpunkt .
Begründe, warum für mit dieser Konstruktion der Schwerpunkt eines Dreiecks konstruiert wird.
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Mit wird das Trapez zum Dreieck und für die Konstruktion des Schwerpunktes gilt .
ist ein Parallelogramm, in dem sich die Diagonalen und halbieren.
Also ist im Dreieck neben auch eine Seitenhalbierende und ihr Schnittpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks.
Die Konstruktion des Schwerpunktes im Trapez und auch den Übergang vom Trapez zum Dreieck kannst du im folgenden Applet nachvollziehen.
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