Zwei Personen einigen sich auf ein Würfelspiel bei dem ein sechs-seitiger Würfel zweimal geworfen wird und die Summe aus beiden Würfen als Ergebnis notiert wird. Wie mächtig ist der Ergebnisraum?
Wie mächtig ist der Ergebnisraum?
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Die Summe zweier Würfelwürfe kann alle Zahlen zwischen zwei (1+1) und zwölf (6+6) ergeben. Das sind 11 unterschiedliche Zahlen.
Handelt es sich bei dem Spiel um ein Laplace-Experiment?
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Es gibt mehrerer Würfelkombinationen welche dieselbe Würfelsumme ergeben, zum Beispiel 3 + 4 = 7 und 1 + 6 = 7. Aber andere Zahlen verlangen eine bestimmte Würfelkombination, zum Beispiel 2 = 1 + 1, und sind deshalb unwahrscheinlicher. Da nicht alle Ergebnisse des Ergebnisraums dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment.
Bei welchem der folgenden Experimente handelt es sich um ein Laplace-Experiment?
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Zu den Antworten:
"Die Kombination der geworfenen Zahlen unter Berücksichtigung der Reihenfolge" und
"Die Kombination der geworfenen Zahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge."
Es gibt mehr Möglichkeiten zwei unterschiedliche Zahlen zu werfen (erst die eine Zahl, dann die andere oder andersrum) als zwei gleiche Zahlen zu würfeln, deshalb sind sogenannte Paschs (zwei gleiche Zahlen) unwahrscheinlicher und die geworfenen Zahlenkombinationen nur unter Berücksichtigung der Reihenfolge ein Laplace Experiment. Die Kombination der geworfenen Zahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist kein Laplace Experiment.
Zu der Antwort: "Die Summe beider Würfe ist gerade oder ungerade"
Die Summe zweier gerader Zahlen und zweier ungerader Zahlen ist gerade, aber nur die Summe einer ungeraden und einer geraden Zahl ist ungerade. Es hilft daher, folgenden Ereignisbaum zu betrachten:
Da bei beiden Würfen die Wahrscheinlichkeit gleich groß ist eine gerade (, und ) oder eine ungerade (, und ) Zahl zu würfeln. Sind die Wahrscheinlichkeiten der vier Elementarereignisse des Experiments
gleich groß . Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Summe zu würfeln ist also gleich groß wie die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Summe zu würfeln ().
Der erste Spieler würfelt eine 10. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Spieler eine höhere Summe würfelt und das Spiel gewinnt, in ganzen Prozent? (Runde dein Ergebnis auf die nächste ganze Zahl, um es zu überprüfen: 0,3675 → 37 (%).)
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Da es sich bei dem ursprünglichen Experiments, die Summe zweier Würfelwürfe, nicht um ein Laplace-Experiment handelt, ist es besser sich das Ereignis in dem entsprechenden Laplace-Experiment, die Kombination der Würfe unter Berücksichtung der Reihenfolge, anzusehen:
Das ursprüngliche Ereignis (X>10) kann in dem Hilfsexperiment durch drei Elementarereignisse erreicht werden (erst 5 dann 6 (Summe 11), andersrum oder 6er Pasch). Die Wahrscheinlichkeit der drei Elementarereignisse ist gleich und kann mit Hilfe der Ereignisraummächtigkeit berechnet werden.
Darum ist
Pro Wurf gibt es sechs unterschiedliche Ergebnisse und die Gesamtmächtigkeit des Ergebnisraums beträgt deshalb 36 (6 mal 6). Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist deshalb 1/36.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe größer als 10 zu würfeln ist also die Summe der drei Einzelwahrscheinlichkeiten und ungefähr 8%.