Quer durchs Parallelogramm
Eine Gerade "quer" durchs Parallelogramm, wie z.B. eine Diagonale, heißt eine Transversale.
Begründe, warum die Eckpunkte B und D des Parallelogramms ABCD von der Diagonalen durch A und C gleichen Abstand haben.
Lösung anzeigen
Die Diagonale zerlegt das Parallelogramm nach dem SSS-Satz in zwei kongruente Dreiecke, die dann auch in den zur gemeinsamen Seite gehörenden Höhen übereinstimmen.
Für eine durch den Eckpunkt A des Parallelogramms ABCD und einen beliebigen Punkt X der Seite [CD] verlaufende Transversale gilt:
Der Abstand des Punktes B zur Transversalen ist die Summe der Abstände der Eckpunkte C und D von ihr.
Begründe dies.
Lösung anzeigen
Tipp: Lege eine geeignete Parallele zur Transversalen.
Der "Trick" zur Begründung:
Lege durch die Ecke C die Parallele zur Transversalen.
Dann enthält die Zeichnung die beiden nach dem WSW-Satz kongruenten Dreiecke HBC und AXD, die in ihrer Höhe d übereinstimmen.Dazu ein Rechteck mit der Seitenlänge c.
Der Abstand b des Eckpunktes B von der Transversalen ist dann die Summe c+d.
Was gilt für die Teilaufgabe b, wenn X = D?
Was gilt, wenn X = C?
Lösung anzeigen
Bei beliebiger Lage von X auf [CD] gilt: .
Wenn X = D, dann gilt:
Die Seite AD des Parallelogramms ist selbst Transversale. Der Eckpunkt D hat zu ihr den Abstand 0, d.h. . Die Eckpunkte B und C des Parallelogramms haben zur Seite AD gleichen Abstand, d.h. es gilt .
Wenn X = C, dann gilt:
, und es gilt die Feststellung aus Teilaufgabe a, dass .
Die allgemeine Beziehung gilt also auch für die beiden Sonderlagen des Punktes X.
Im nachfolgenden Appplet kannst du durch Verschieben des Punktes X die einzelnen Abstandswerte ablesen und die Sonderlagen von X überprüfen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.