Die Tangenten von einem Punkt der Symmetrieachse der Parabel an die Parabel stehen aufeinander senkrecht. Berechne die Berührpunkte und die Gleichungen der Tangenten.
Lösung anzeigen
Symmetrieachse
Entnimm der Scheitelpunktsform den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse der Parabel.
ist Symmetrieachse
Aufstellen der Geradengleichungen
Wähle auf der Symmetrieachse einen beliebigen Punkt.
sei ein beliebiger Punkt auf der Symmetrieachse.
Stelle eine Geradengleichung durch den Punkt mit variabler Steigung auf.
Umformung: \cdot\left(x-1\right)
Umformung: +k
Schnittpunkt berechnen mit der Parabel
Schneide die Gerade mit der Parabel durch Gleichsetzen der Funktionsterme.
Löse die Klammer auf.
Umformung: -mx+m-k
Umformung: \cdot (-1)
Fasse zusammen
Ausnutzen der Bedingung, dass die Tangente und Parabel nur einen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben
Damit die Gerade eine Tangente an die Parabel ist, dürfen sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. In diesem Fall muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null sein.
Setze die Diskriminante der quadratischen Gleichung
gleich null.
Löse nach auf.
Umformung: +4k-4
Klammere aus.
Umformung: \sqrt{ }
Bedingung der senkrechten Tangenten
Beachte jetzt die gestellte Aufgabe:
Die beiden Tangenten für bzw. sollen aufeinander senkrecht stehen.
Es muss also gelten:
Umformung: :(-4)
Umformung: +1
Lösungen
Mit folgt .
Setze in
und .
Gib die Tangentengleichungen an.
Koordinaten der Schnittpunkte / Berührpunkte
Schneide die Tangenten mit der Parabel durch Gleichsetzen der Funktionsterme.
Klammer auflösen.
Umformung: -x-0,25
Umformung: \cdot(-1)
Fasse mit binomischer Formel zusammen.
Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
Setze in ein:
Umformung: +x-2,25
Umformung: \cdot(-1)
Fasse mit binomischer Formel zusammen.
Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
Setze in ein:
Ein etwas anderer Lösungsweg
Wenn die Tangenten senkrecht aufeinander stehen sollen und der Tangentenschnittpunkt auf der Symmetrieachse der Parabel liegt, dann muss der Winkel mit der Symmetrieachse betragen. Die Steigung der beiden Tangenten ist dann .
Gleichung der Tangenten
Die erste Tangente:
Betrachte die Differenzfunktion von Parabel und Tangente :
Berechne die Nullstelle von :
Zwischen Funktionsgraph und Tangente darf es nur einen Schnittpunkt geben. Die Nullstelle der Differenzfunktion muss eine doppelte Nullstelle sein. Das hat zur Folge, dass die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null sein muss.
Setze , und ein.
Umformung: +4t
Umformung: :4
Damit ergibt sich für die erste Tangente die Gleichung:
Die zweite Tangente:
Berechne die Nullstelle von :
Die Diskriminante der quadratischen Gleichung muss gleich null sein.
Setze , und ein.
Umformung: +4t
Umformung: :4
Damit ergibt sich für die zweite Tangente die Gleichung:
Koordinaten der Berührpunkte
Tangente
Mit der Mitternachtsformel wird die Nullstelle der Differenzfunktion berechnet. Dabei ist , wie es oben vorausgesetzt wurde.
Setze , ein.
Setze in ein, um die y-Koordinate des Berührpunktes zu berechnen.
Tangente
Die Nullstelle der Differenzfunktion wird berechnet.
Dabei ist .
Setze , ein.
Setze in ein, um die y-Koordinate des Berührpunktes zu berechnen.