Sei eine differenzierbare Funktion, sodass für alle gilt.
Berechne die Ableitung von mit der Kettenregel.
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Zuerst bestimmen wir die Funktionen und . Hier ist und . Wir wissen, dass und . Einsetzen ergibt
Sei eine positive relle Zahl. Benutze die Formel aus Teilaufgabe a), um die Ableitung von zu berechnen.
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Wir verwenden die Formel aus a)
und formen nach um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit und erhalten
Nun setzen wir ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln schreiben können. Damit folgt . Das ergibt
Wie kannst du den Lösungsweg aus b) verändern, wenn du die Ableitung von berechnen willst?
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Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion die Formel
Jetzt setzen wir ein. Mit den Logarithmusregeln folgt . Also ist
Somit folgt