Graphisches Lösen von Exponentialgleichungen
Einführungsbeispiel
Löse die Gleichung graphisch.
Lösung
Zeichne den Graphen der Parabel und den der Exponentialfunktion .
Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) beider Graphen sind die gesuchten Lösungen der Gleichung .
Die ganzzahligen Lösungen und findet man natürlich auch durch Probieren. (eine irrationale Zahl) als Näherungswert nur graphisch.
Oft will man nur feststellen, ob eine Gleichung überhaupt lösbar ist, oder es reichen grobe Näherungswerte der Lösungen, dann genügen für die graphische Lösung Handskizzen der Graphen. Willst du es genauer, dann verwendest du einen Funktionsplotter zum Zeichen der Graphen.
Für die anschließenden Aufgaben sollen Handskizzen genügen.
Löse die Exponentialgleichung graphisch.
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Schneide den Graphen der Exponentialfunktion mit dem Graphen der linearen Funktion und löse damit graphisch die Gleichung .
Ablesen der -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen ergibt:
Also gilt: {}
Den exakten zweiten Wert kannst du leicht du Einsetzen in die Gleichung bestätigen.
Löse die Exponentialgleichung graphisch.
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Schneide - falls möglich - den Graphen der Exponentialfunktion mit der linearen Funktion und löse damit die Gleichung .
Die beiden Graphen haben keine Punkte gemeinsam. Deshalb hat die Gleichung keine Lösung.
Es ist { }.
Löse die Exponentialgleichung graphisch.
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Löse die Gleichung graphisch.
Forme die Gleichung um.
Schneide den Graphen der Exponentialfunktion mit dem Graphen der linearen Funktion und löse damit die Gleichung
Die Graphen schneiden sich in einem Punkt mit dem Näherungswert .
Löse die Exponentialgleichung graphisch.
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Stelle den Funktionsterm alleine auf eine Seite der Gleichung.
Schneide den Graphen der Exponentialfunktion mit der Parabel .
Lies die -Koordinaten der Schnittpunkte aus der Zeichnung ab.
Mache für die Rechenprobe!
Löse die Exponentialgleichung graphisch und - falls du den Logarithmus schon kennst - auch rechnerisch.
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Graphische Lösung
Schneide die Graphen der Exponentialfunktionen und .
Lies die x-Koordinate des Schnittpunktes aus deiner Skizze ab.
Rechnerische Lösung
Setze
Nur kommt in Frage. Ersetze u.
Löse nach x durch Logarithmieren auf.
Jetzt ist der Taschenrechner dran.
Vergleiche das Rechenergebnis mit deinem graphischen Wert. Bist du zufrieden?