Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?
Der Graph der Funktion f mit verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.
Lösung anzeigen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Es werden zwei mögliche Lösungswege vorgestellt.
1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten
Als Bedingung dafür, dass keine Nullstelle existiert, ergibt sich nun .
Daher liegt im Intervall .
2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln
Gegeben ist die Funktion:
Der Graph der Funktion soll oberhalb der - Achse verlaufen.
Daraus folgt für alle Werte .
Der Scheitelpunkt der Parabel muss also auch oberhalb der -Achse liegen.
Quadratische Ergänzung
Binom bilden
Scheitelpunktsform bestimmen
Der Scheitelpunkt ist also .
Die -Koordinate des Scheitels muss oberhalb der -Achse liegen also . Daraus folgt die Ungleichung:
Lösen der Ungleichung:
Wurzel ziehen und beachten, dass sowohl negative als auch
positive Werte auftreten können.
Ergebnis:
Der Paramter liegt im Intervall .
Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit liegt auf der x-Achse.
Lösung anzeigen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante
Da der Scheitel der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegen soll, hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung. Für die Diskriminante muss also gelten.
Also ist oder .
2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei .
Da der Scheitel auf der x-Achse liegen soll und dessen y-Koordinate damit ist, muss gelten.
Also: und damit oder .
Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit liegt auf der y-Achse.
Lösung anzeigen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
1.Lösungsweg: Achsensymmetrie
Da der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen soll, muss für alle gelten.
Damit gilt:
Also: .
2.Lösungsweg: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
Ergänze quadratisch
Binomische Formel
Klammern auflösen
Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei .
Da der Scheitel auf der y-Achse liegen soll und dessen x-Koordinate dafür sein muss, muss gelten, also .