Die Eckpunkte der Drachenvierecke liegen auf der Geraden g mit . Die Punkte sind die Diagonalenschnittpunkte, die Geraden sind die Symmetrieachsen der Drachenvierecke.
Es gilt: ;
Zeichne die Drachenvierecke und für und in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung:
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Für das erste Drachenviereck:
Gegeben sind: , , , und
Du zeichnest zuerst den Punkt in ein Koordinatensystem ein.
Dann berechnest du die Koordinaten von .
Du trägst den Punkt in ein Koordinatensystem ein.
Dann berechnest die Koordinaten von . Dafür multiplizierst du die Koordinaten von mit . Das kannst du aus dem Verhältnis rauslesen.
Diesen Punkt trägst du wieder ein.
Dann konstruierst du eine Senkrechte zu , die durch den Punkt geht. Auf dieser werden später und sein.
Du weißt, dass bei ein rechter Winkel vorliegt und, dass Mittelpunkt von und ist. Du kannst also erkennen, dass du einen Thaleskreis benutzen kannst, um und zu finden. Die Schnittpunkte mit diesem sind die Punkte und .
Du zeichnest also einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius in deine Skizze.
Für das zweite Drachenviereck:
Gegeben sind: , , , und
Du zeichnest zuerst den Punkt in ein Koordinatensystem ein.
Dann berechnest du die Koordinaten von .
Du trägst den Punkt in ein Koordinatensystem ein.
Dann berechnest die Koordinaten von . Dafür multiplizierst du die Koordinaten von mit . Das kannst du aus dem Verhältnis rauslesen.
Diesen Punkt trägst du wieder ein.
Dann konstruierst du eine Senkrechte zu , die durch den Punkt geht. Auf dieser werden später und sein.
Du weißt, dass bei ein rechter Winkel vorliegt und, dass Mittelpunkt von und ist. Du kannst also erkennen, dass du einen Thaleskreis benutzen kannst, um und zu finden. Die Schnittpunkte mit diesem sind die Punkte und .
Du zeichnest also einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius in deine Skizze.
Berechne die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte !
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Gegeben sind die Koordinaten der Punkte . Es gilt
Wenn zum Beispiel Längeneinheiten vom Ursprung entfernt ist, dann ist Längeneinheiten vom Ursprung entfernt. Daraus folgt, dass immer auf des Weges vom Ursprung zu liegt. Man multipliziert also die - und -Koordinaten von mit
Zeige, dass gilt: !
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Berechnung des Verältnisses
Gegeben:
liegt auf einer Senkrechten zu , die durch führt.
Aus diesen Informationen kannst du entnehmen, dass , und ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Durch den rechten Winkel gibt es einen Thaleskreis mit Mittelpunkt , der durch , und geht. Es gilt also .
Ermittle die Gleichung des Trägergraphen der Punkte !
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Gegeben sind und .
Wenn um um gedreht wird, entsteht . Wir drehen also um einen beliebigen Punkt.
Um den Trägergraphen zu ermitteln, übernimmst du aus den Ortsvektoren folgende Informationen über die Koordinaten von :
Jetzt musst du nur noch in die untere Gleichung einsetzen und du hast den Trägergraphen ermittelt.
Berechne den Wert für , für den die Symmetrieachse senkrecht zur Geraden steht!
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Gegeben: und
Der Richtungsvektor der Geraden muss orthogonal zu sein:
Unter den Drachenvierecken besitzt das Drachenviereck einen extremen Flächeninhalt. Berechnen sie dazu die -Koordinate des Punktes !
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Gegeben sind und .
Das Drachenviereck besteht aus zwei gleichgroßen Dreiecken, dessen Flächeninhalt du mit der Determinante ausrechnen kannst.
Du kennst jetzt den Flächeninhalt in Abhängigkeit von . Mit der quadratischen Ergänzung kannst du die Scheitelpunktform der Parabel ausrechnen und damit den Scheitelpunkt bestimmen.
Aus der Scheitelpunktform liest du heraus, dass der Scheitelpunkt bei liegt. Als letztes berechnest du die -Koordinate von .
Der Punkt liegt auf der Parabel mit .
Berechne die Koordinaten des Punktes und das Maß des Winkels !
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Gegeben sind:
Du kennst die Koordinaten aller Punkte in allgemeiner Form. Außerdem weißt du, dass der Punkt im Speziellen auf liegt, d. h. seine Koordinaten müssen die Parabelgleichung erfüllen. Du setzt also die Koordinaten von in die Gleichung von ein und berechnest so den entsprechenden Wert für .
Als letztes berechnest du den Winkel mit den Vektoren und . Diesen musst du dann mit multiplizieren.
,
