In einer Urne sind 9 schwarze, 5 blaue und 3 rote Kugeln. Viermal wird mit Zurücklegen gezogen. Beweise, dass die Ereignisse A: "Blau beim ersten Zug" und B:"Kein Schwarz bei 4. Zug" unabhängig sind.
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Für diese Aufgabe gibt es verschiedene Herangehensweisen.
Möglichkeit 1: Möglichkeiten aufzählen
Zu zeigen ist:
Berechne P(A). Zähle dafür die günstigen Möglichkeiten auf und teile durch alle Möglichkeiten.
Berechne P(B). Teile wieder die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten.
Berechne nun . Beachte, dass uns der 2. und 3. Zug egal sind.
Es gilt also:
Möglichkeit 2: Über bedingte Wahrscheinlichkeit
Diese Herangehensweie ist immer dann sinnvoll, falls zu viele Möglichkeiten enthält, um sie von Hand zu berechnen. Hier war es noch einfach möglich, in anderen Aufgaben ist diese Lösung einfacher.
Zu zeigen ist:
Eingesetzt in die Definition von bedingter Wahrscheinlichkeit folgt damit sofort die Unabhängigkeit. Genausogut kann man natürlich auch berechnen.
Bestimme zunächst P(B)="Kein Schwarz bei 4. Zug".
(Teile die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten)
Betrachte die bedingte Wahrscheinlichkeit : "Nicht schwarz im vierten Zug, unter der Bedingung, dass der erste Zug blau war"
Daraus folgt die Unabhängigkeit.