Dir ist eine dreistellige Zahl mit drei verschiedenen Ziffern gegeben, die alle größer als 0 sind. Du sortierst die Ziffern erst absteigend, dann aufsteigend und bildest die Differenz aus den beiden Ergebnissen. Mit dem Ergebnis wendest du das selbe Verfahren erneut an, bis die drei Ziffern des Ergebnisses die selben sind wie zuvor. Die Reihenfolge ist hierbei egal.
Beispiel
Du nimmst die Zahl 823. Wenn du sie absteigend und dann aufsteigend sortierst, erhältst du 832 und 238. Die Differenz aus diesen Zahlen beträgt
Nun führst du das beschriebene Verfahren erneut durch:
und erhältst das selbe Ergebnis wie zuvor.
Für die Zahl 823 benötigst du also zwei Durchführungen der obigen Rechnung, bis zwei mal das selbe Ergebnis vorgekommen ist.
Wie oft musst du diese Rechnung bei jeder beliebigen "Startzahl" höchstens durchführen, bis die drei Ziffern des Ergebnisses die selben sind wie zuvor?
Lösung anzeigen
Wir betrachten, was mit den Ziffern der dreistelligen Zahlen passiert, wenn wir unser Verfahren anwenden.Hierfür nennen wir die größte Ziffer x, die zweitgrößte y und die drittgrößte z, somit gilt:
Wir rechnen also xyz-zyx.
Nach dem Vorbild der schriftlichen Subtraktion fangen wir mit der dritten entstehenden Ziffer an und nennen sie p:
Wir mussten die 10 hinzufügen, weil x größer als z ist und müssen diese nun bei der 10er-Stelle, der zweiten Ziffer, abziehen. Für die zweite Ziffer o gilt somit:
Die dritte Ziffer n ist damit:
Wir können feststellen, dass nach einer Dürchführung die höchste Zahl o immer gleich 9 ist. Dies bedeutet, dass spätestens bei der zweiten Dürchführung aus der obersten Formel
wird und aus der untersten:
Setzen wir nun Zahlen für p ein und betrachten p' bzw. n'. Im Hinterkopf behalten wir, dass wir unser Verfahren bereits einmal dürchgeführt haben. Wir setzen p=1 ein:
Die neue kleinste Ziffer ist demnach die 2. Wir versuchen es nochmal mit p=2:
Die neue kleinste Ziffer ist jetzt die 3. Das nächste p wird gleich 4 und das nächste n wird gleich 5 sein, dem Muster folgend. Setzen wir nun 4 ein, passiert folgendes:
Es entsteht wieder das Ziffernpaar 4 und 5, zwar in einer anderen Reihenfolge, aber die ist irrelevant, weil die Ziffern sortiert werden. An dieser Stelle wiederholen sich unsere Ergebnisse. Wenn wir mit p=1 anfangen, haben wir somit die höchste Anzahl an Dürchführungen benötigt. Nach der vierten haben wir das gleiche Ergebnis erneut erhalten.
Wir müssen nur noch beweisen, dass p=1 oder n=1 eine Möglichkeit nach einer Dürchführung ist.
Wir betrachten hierfür die drei Ziffern der Startzahl und benutzen unsere Formel
Damit n=1 ist, was den selben Effekt hat wie p=1, muss gelten:
Nehmen wir beispielsweise die Zahl 564. Wir wenden unser Verfahren an und erhalten
Die kleinste Zahl ist eine 1. Wenn wir nun unser Verfahren viermal anwenden, haben wir das gleiche Ergebnis wie vorher.
Antwort: Diese Rechnung muss höchstens 5 mal dürchgeführt werden, bis das selbe Ergebnis zum zweiten Mal vorgekommen ist.