B 4 Aufgabe 2
In einer Region werden die Personen betrachtet, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren. Frühere Untersuchungen haben ergeben, dass etwa dieser Personen dabei allein im Pkw sind. Um diesen Anteil zu senken, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Nun soll untersucht werden, ob der beschriebene Anteil deutlich gesunken ist. Dazu wird die Durchführung eines Signifikanztests geplant mit einem Signifikanzniveau von und der Nullhypothese „Der Anteil der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren, liegt bei mindestens .“
Es ist geplant, den Test auf der Grundlage einer Stichprobe von Personen
durchzuführen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. [5 BE]
Lösung anzeigen
- ist die Anzahl der Personen, die allein im Pkw fahren.
- Binomialverteilung mit
- Art des Tests: Linkseitiger Signifikanztest zum Niveau
- und
- Ablehnungsbereich: , für den gilt .
- Ermittle , sodass
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel
ist die Anzahl der Personen, die allein im Pkw fahren.
Binomialverteilung mit
Art des Tests: Linkseitiger Signifikanztest zum Niveau
Ablehnungsbereich: , für den gilt .
Es ist und .
Demnach ist und bzw. .
Entscheidungsregel: Gilt , wird verworfen und angenommen, dass der Anteil unter gesunken ist. Ist , wird nicht verworfen.
Angenommen, der Test würde
mit unveränderter Nullhypothese und unverändertem Signifikanzniveau mit zufällig ausgewählten Personen geplant.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person allein im Pkw zur Arbeit fährt, wird mit bezeichnet.
Abbildung 2 stellt für einen bestimmten Wert von in Abhängigkeit von die Wahrscheinlichkeit dafür dar, dass das Ergebnis des Tests im
Ablehnungsbereich liegt. Ermitteln Sie für ein geeignet gewähltes Beispiel mithilfe von Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit für den zugehörigen Fehler zweiter Art.
[3 BE]
Lösung anzeigen
- Wähle ein und lies die dazugehörige Wahrscheinlichkeit aus Abbildung 2 ab.
- Der -Fehler ist dann 1 – abgelesener Wert.
- Beachte: Der gewählte Wert für muss kleiner sein.
Ermittle für ein geeignet gewähltes Beispiel mithilfe von Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit für den zugehörigen Fehler zweiter Art
Wählt man z. B. , dann kann aus der Abbildung 2 der Wert abgelesen werden.
Der Fehler 2. Art (-Fehler genannt) ist die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abzulehnen, obwohl sie falsch ist. Da der Graph die Wahrscheinlichkeit für das Ablehnen von (also die Power bzw. Gütefunktion ) bei mit angibt, beträgt der Fehler 2. Art (bzw. ).
Beachte: Der gewählte Wert für muss kleiner sein.