B 3 Aufgabe 3
Zwischen der Kopf-Rumpf-Länge und dem Geschlecht von Bergeidechsen besteht eine Korrelation. Für eine zufällig ausgewählte weibliche Bergeidechse kann die Kopf-Rumpf-Länge in Millimetern durch eine normalverteilte Zufallsgröße beschrieben werden. Für die zugehörige Dichtefunktion gilt
Die Abbildung zeigt den Graphen von .
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte weibliche Bergeidechse kleiner als mm ist. [2 BE]
Lösung anzeigen
- Es können aus der gegebenen Funktionsgleichung zwei Parameter abgelesen werden, und .
- Berechne mit dem TR .
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte weibliche Bergeidechse kleiner als mm ist
Berechne .
Gegeben:
Es können zwei Parameter abgelesen werden. Es ist und .
Der TR liefert dann mit unterer Grenze , oberer Grenze , und :
, d. h. rund .
Betrachtet wird die in definierte Funktion mit .
Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang. [2 BE]
Lösung anzeigen
- Es ist und sind von , und der zweite Wert von , also .
- Welche Wahrscheinlichkeit ist dann gesucht?
Beschreibe die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang
bedeutet vom Erwartungswert .
bedeutet vom Erwartungswert .
Die Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Die Abbildung zeigt den Bereich (in Weiß), der hier gesucht ist.
Der Term stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass Y (Kopf-Rumpflänge einer weiblichen Eidechse) um mindestens vom Erwartungswert abweicht.
Auch die Kopf-Rumpf-Länge einer zufällig ausgewählten männlichen Bergeidechse kann durch eine normalverteilte Zufallsgröße beschrieben werden; diese Zufallsgröße wird mit Z bezeichnet. Die Kopf-Rumpf-Länge von männlichen Bergeidechsen beträgt im Mittel mm. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kopf-Rumpf-Länge einer männlichen Bergeidechse zwischen und liegt, beträgt etwa .
Beurteilen Sie anhand dieser Informationen, ob die Standardabweichung von größer oder kleiner ist als die Standardabweichung von . Skizzieren Sie den Graphen der Dichtefunktion von in der Abbildung. [3 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Gegeben ist .
- Nach den Sigmaregeln gilt:
- Vergleiche mit .
Teil 2
- Da und ist die Verteilung für nach links verschoben, etwas höher als die Verteilung für und wegen etwas schmaler.
Beurteile anhand dieser Informationen, ob die Standardabweichung von größer oder kleiner ist als die Standardabweichung von
= Anzahl der männlichen Eidechsen (binomialverteilt)
Es ist .
Gegeben ist weiterhin .
Nach den Sigmaregeln gilt:
Demnach ist
Da ist.
Skizziere den Graphen der Dichtefunktion von in der Abbildung
Da und ist die Verteilung für nach links verschoben, etwas höher als die Verteilung für und wegen etwas schmaler.