B 6
Die Abbildung zeigt die Pyramide mit
und .
Zeigen Sie, dass die Grundfläche ein Trapez ist, und berechnen Sie das Volumen der Pyramide. [4 BE]
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Teil 1
- Berechne und und vergleiche.
Teil 2
- Berechne und dann .
Zeige, dass die Grundfläche ABCD ein Trapez ist
Berechne und und vergleiche.
und
Die beiden Vektoren sind Vielfache voneinander (kollinear), d. h. die beiden Seiten sind parallel zueinanderTrapez.
Berechne das Volumen der Pyramide
Die x-Koordinate von bzw. entspricht der Trapezhöhe.
Die z-Koordinate von entspricht der Pyramidenhöhe .
Damit folgt für das gesuchte Volumen.
Das Volumen der Pyramide beträgt .
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten und einschließen.
[3 BE]
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- Berechne .
Bestimme die Größe des Winkels, den die Kanten und einschließen
Die Größe des Winkels, den die Kanten und einschließen, beträgt rund .
Die Ebene mit der Gleichung schneidet die Kante im
Punkt .
Berechnen Sie die Koordinaten von . (zur Kontrolle: )
[4 BE]
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- Die Kante liegt auf der Geraden .
- Schneide mit .
Berechne die Koordinaten von
Gegeben .
Die Kante liegt auf der Geraden .
Schneide mit :
Setze in ein:
Die Koordinaten von sind .
Die Pyramide wird um die Gerade um einen Winkel der Größe
gedreht. Dabei durchläuft die Spitze einen Kreis.
Begründen Sie, dass dieser Kreis in der Ebene liegt und der Mittelpunkt des Kreises ist. [4 BE]
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- Bekannt: Normalenvektor und .
- Wie verhalten sich die beiden Vektoren zueinander?
- Was folgt daraus?
- Der Mittelpunkt einer Kreisbahn ist immer derjenige Punkt auf der Drehachse, der den kürzesten Abstand zum rotierenden Punkt besitzt.
- Welcher Punkt ist das?
Begründe, dass dieser Kreis in der Ebene liegt und der Mittelpunkt des Kreises ist
Bekannt: Normalenvektor und .
Es gilt:
Der Richtungsvektor der Drehachse und der Normalenvektor der Ebene sind kollinear (parallel). Die Ebene steht also orthogonal auf der Drehgeraden .
Die Gerade bildet die Drehachse der Rotation. Bei einer Drehung bewegt sich ein Punkt stets in einer Ebene, die orthogonal (senkrecht) zur Drehachse steht. Da die Ebene senkrecht auf der Geraden steht und durch den Punkt verläuft, muss die gesamte Kreisbahn der Spitze in der Ebene liegen und damit liegt auch der Punkt in der Ebene .
Mittelpunkt : Der Mittelpunkt einer solchen Kreisbahn ist immer derjenige Punkt auf der Drehachse, der den kürzesten Abstand zum rotierenden Punkt besitzt. Dies ist exakt der Lotfußpunkt der Spitze auf der Geraden .
Der konstante Abstand bildet dabei den Radius des Kreises.
Der Kreis, den die Spitze der Pyramide beschreibt, hat den Radius .
Beurteilen Sie folgende Aussage:
Während des Drehvorgangs gibt es eine Position der Pyramide, bei der
ihre Spitze die y-Koordinate hat. [5 BE]
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- Stelle eine Kreisgleichung mit dem Mittelpunkt und auf.
- Die Gleichung der Ebene kann nach aufgelöst werden.
- Setze dieses in die Kreisgleichung ein und löse nach auf.
Beurteilen Sie folgende Aussage:
Während des Drehvorgangs gibt es eine Position der Pyramide, bei der ihre Spitze die y-Koordinate hat.
Der Kreis liegt in der Ebene () und hat den Mittelpunkt sowie das Radiusquadrat .
Dann ergibt sich die Kugelgleichung:
Damit maximal wird, darf kein Anteil auf die -Koordinate entfallen, d. h. Du setzt daher :
Setzt Du die Bedingung der Ebene in die Gleichung ein, erhältst Du:
Da der maximal erreichbare -Wert der Spitze bei ungefähr liegt, kann die Koordinate zu keinem Zeitpunkt erreicht werden.
Die Aussage ist falsch.