A 9
Gegeben ist die Ebene .
Zeigen Sie, dass der Koordinatenursprung von den Abstand hat. [2 BE]
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Zeige, dass der Koordinatenursprung von den Abstand hat
Erstelle die Hesse-Normalenform von :
Abstand des Punktes von Ebene :
Die Ebene hat vom Koordinatenursprung den Abstand .
Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts , der vom Koordinatenursprung den gleichen Abstand wie von der Ebene hat, aber nicht auf der Lotgerade zu durch liegt. [3 BE]
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- Erstelle die Gleichung einer Ebene , die den Abstand zu haben soll.
- Der Punkt soll von den Abstand haben
- Wähle z. B. , dann erhältst Du zwei Gleichungen für und .
- Löse das Gleichungssystem.
Bestimme die Koordinaten eines Punkts , der vom Koordinatenursprung den gleichen Abstand wie von der Ebene hat, aber nicht auf der Lotgerade zu durch liegt
Hinweis:
Bei dieser Aufgabe ist es ziemlich kompliziert, alle Lösungen zu berechnen. Man erhält nach quadratischen Ergänzungen und Koordinatentransformationen ein schräg im Raum liegendes Paraboloid.
Hier werden zwei alternative Lösungen zur Bestimmung eines Punktes vorgestellt.
Methode 1:
Die Idee ist, eine zu parallele Ebene durch den Ursprung zu legen und darin einen Punkt zu bestimmen, der die Bedingung erfüllt.
Jeder Punkt einer Ebene soll den Abstand zu haben.
Dann hat die Gleichung .
Der Punkt soll von den Abstand haben (siehe Aufgabenstellung).
Wähle z. B. , dann folgt für :
.
Mit folgt für die Gleichung :
Aus folgt:
Setze in ein:
Mit .
Mit (ein möglicher zweiter Punkt).
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Methode 2:
Wir suchen einen Punkt auf der positiven -Achse, der die Bedingung erfüllt.
Das geht, da die Ebene die -Achse (die durch beschrieben ist), bei schneidet.
Der Abstand des Punktes zum Ursprung ist einfach , der Abstand zu ist
Aus folgt , ein möglicher Punkt ist also .