A 5
Die Abbildung zeigt den Graphen einer in definierten differenzierbaren Funktion , die genau zwei Nullstellen hat: und .
Betrachtet wird die in definierte Integralfunktion .
Beurteilen Sie die folgende Aussage:
hat genau zwei Nullstellen.
[5 BE]
Lösung anzeigen
- Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle.
- Für findet man Flächenbereiche, die unterhalb und oberhalb der x-Achse verlaufen.
Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle und ist die erste Nullstelle.
Integriert man in positiver Richtung, dann wird die Fläche immer größer (vergleiche die Abbildung von ). Somit ist für .
Für findet man Flächenbereiche, die unterhalb (orange) und oberhalb (grün) der x-Achse verlaufen.
Dann gilt: für (siehe Skizze).
Bekannt ist, dass nur zwei Nullstellen hat. Demnach gibt es keine weiteren Nullstellen, da die x-Achse nicht noch einmal schneidet.
Somit gibt es genau zwei Nullstellen von und die Aussage trifft zu.