FOS T12
Aufgabe 3
Für eine Lippenstiftmarke soll ein passendes Werbelogo designt werden. Die
zugrundeliegende Kontur der Lippenform lässt sich durch die Graphen bzw. zweier
ganzrationaler Funktionen bzw. mit bzw. auf dem Intervall beschreiben.
Es soll nun ein achsenparalleles rechteckiges Textfeld für den Werbetext platziert werden. Die Eckpunkte des Rechtecks liegen auf den Graphen von bzw. . Das Rechteck soll dabei an keiner Stelle außerhalb der Lippenkontur liegen. Koordinaten sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter. Die Distanz mit und ist wie in der Abbildung gezeigt festgelegt.
Zeigen Sie zunächst, dass sich die Maßzahl des Flächeninhalts des Textfeldes in Abhängigkeit von durch darstellen lässt. [3 BE]
Lösung anzeigen
- Rechteckfläche:
- Mit und folgt .
Zeige zunächst, dass sich die Maßzahl des Flächeninhalts des Textfeldes in Abhängigkeit von durch darstellen lässt
Rechteckfläche:
Mit und folgt.
Weisen Sie nach, dass als maximale Definitionsmenge der Funktion anzunehmen ist. [4 BE]
Lösung anzeigen
- Beachte , es folgt daraus die rechte Grenze von .
- Die Oberkante des Rechtecks darf nicht über liegen, also , daraus folgt die linke Grenze von .
Weise nach, dass als maximale Definitionsmenge der Funktion anzunehmen ist
Gefordert: Das Rechteck soll dabei an keiner Stelle außerhalb der Lippenkontur liegen.
Weiterhin ist . Damit erhältst Du mit die obere Grenze der Definitionsmenge von .
Die Oberkante des Rechtecks darf nicht über liegen, also .
Umformung: : a^2
Es ist .
Umformung: \cdot (-64)
Löse nach auf. Beachte die Umkehrung des Ungleichungszeichens.
Umformung: +8
Das heißt (entfällt wegen ) oder
Zusammen ergeben die beiden Bedingungen für den maximalen Definitionsbereich
Bestimmen Sie den Wert für so, dass die Fläche des Textfeldes einen maximalen Inhalt annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall die Abmessungen des Rechtecks.
Runden Sie auf Zentimeter genau. [5 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
- Beachte den Definitionsbereich.
- Untersuche die Randwerte.
Bestimme den Wert für so, dass die Fläche des Textfeldes einen maximalen Inhalt annimmt
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Wegen ist und
Innerhalb des Definitionsbereiches gibt es also keine lokalen Extremstellenprüfe Randextrema.
Linker Rand:
Rechter Rand:
Den maximalen Flächeninhalt von rund erhältst Du also für
Berechne für diesen Fall die Abmessungen des Rechtecks
Es ist und
Die Abmessungen des Rechtecks sind und .