FOS T12
Aufgabe 3
Die Hersteller und stellen jeweils ein Medikament mit demselben Hauptwirkstoff her.
In einer Vergleichsstudie wird Probanden zum Zeitpunkt eine bestimmte Menge des Medikaments von oder injiziert. Die Konzentration des Medikaments im Blutplasma eines Probanden in Abhängigkeit von der Zeit kann modellhaft durch die Funktion , mit , und beschrieben werden.
Dabei wird die Konzentration des Medikaments zum Zeitpunkt in Mikrogramm pro Milliliter und die seit der Injektion verstrichenen Zeit in Stunden seit der Injektion gemessen.
Weil die Hersteller jeweils andere Zusatzstoffe beimengen, werden die zwei Medikamente unterschiedlich schnell abgebaut, was sich in verschiedenen Werten für niederschlägt. Jedes Medikament wird aber nach langer Zeit nahezu vollständig abgebaut sein.
Der Zeitraum, in dem sich die Konzentration des Medikaments im Blutplasma halbiert, heißt Plasmahalbwertszeit. Ergebnisse sind sinnvoll zu runden. Auf das Mitführen der Einheiten kann während den Berechnungen verzichtet werden.
Hinweis
Diese Aufgabe ist schlecht gestellt (wahrscheinlich weil man ja - koste es, was es wolle - einen Sachzusammenhang braucht.)
Von einer "Plasmahalbwertszeit" kann nur bei einem exponentiellen Abfall der Konzentration in der Form gesprochen werden (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Plasmahalbwertszeit). In der hier angegebenen Funktion ist die Zeitspanne, in der sich die Konzentration halbiert, vom Startzeitpunkt abhängig.
Bestimmen Sie die Konzentration des Medikaments im Blutplasma unmittelbar nach der Injektion des Medikaments (zum Zeitpunkt ).
Untersuchen Sie weiterhin, ob die verwendete Modellfunktion den Abbau des Medikaments nach langer Zeit richtig beschreibt. [3 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Berechne .
Teil 2
- Berechne .
Bestimme die Konzentration des Medikaments im Blutplasma unmittelbar nach der Injektion des Medikaments (zum Zeitpunkt )
Gegeben:
Die Konzentration des Medikaments im Blutplasma unmittelbar nach der Injektion des Medikaments (zum Zeitpunkt ) beträgt
Untersuche weiterhin, ob die verwendete Modellfunktion den Abbau des Medikaments nach langer Zeit richtig beschreibt
Bekannt: Jedes Medikament wird aber nach langer Zeit nahezu vollständig abgebaut sein, d. h. geht für gegen unendlich gegen null.
Gegeben:
Die verwendete Modellfunktion beschreibt den Abbau des Medikaments nach langer Zeit richtig.
Bei dem Medikament des Herstellers hat die Konzentration genau fünf Stunden nach der Injektion noch den Wert .
Ermitteln Sie für dieses Medikament den Wert von . [3 BE]
Lösung anzeigen
- Löse die Gleichung .
Ermittle für dieses Medikament den Wert von
Löse die Gleichung .
Umformung: :7
Löse nach auf.
Umformung: \ln
Umformung: :25
Der Wert für dieses Medikament beträgt rund .
Für die folgenden Teilaufgaben wird das Medikament des Herstellers betrachtet, für das gilt. Es ist also:
Ermitteln Sie für dieses Medikament die Plasmahalbwertszeit in Minuten. [3 BE]
Lösung anzeigen
- Löse die Gleichung .
Ermittle für dieses Medikament die Plasmahalbwertszeit in Minuten
Plasmahalbwertszeit: Der Zeitraum, in dem sich die Konzentration des Medikaments im Blutplasma halbiert, heißt Plasmahalbwertszeit.
Hier ist .
Löse die Gleichung :
Umformung: :7
Umformung: \ln
Umformung: :(-0,08)
Es ist wegen entfällt .
Zeit in Stunden Zeit in Minuten=
Die Plasmahalbwertszeit für dieses Medikament beträgt rund Minuten.
Zeigen Sie, dass die Konzentration fortlaufend abnimmt, und bestimmen Sie den Betrag der maximalen Abnahmegeschwindigkeit der Konzentration des Medikaments im Blutplasma.
[Mögliches Teilergebnis: ] [8 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Berechne die 1. Ableitung von mit der Kettenregel.
- Welche Aussage über die 1. Ableitung (positiv oder negativ) ist möglich?
Teil 2
- Löse die Gleichung . Dies liefert Wendepunkte, an denen die Steigung am stärksten zu- oder abnimmt.
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Die maximale Abnahmegeschwindigkeit ist der Betrag von .
Zeige, dass die Konzentration fortlaufend abnimmt
Berechne die 1. Ableitung von mit der Kettenregel:
Die 1. Ableitung ist stets negativ, d. h. die Konzentration nimmt fortlaufend ab.
Bestimme den Betrag der maximalen Abnahmegeschwindigkeit der Konzentration des Medikaments im Blutplasma
Berechne die 2. Ableitung von mit der Produkt-und Kettenregel:
Die Stelle der maximalen Abnahme einer Funktion findest Du, indem Du das Minimum der ersten Ableitung berechnest. Löse die Gleichung . Dies liefert Wendepunkte, an denen die Steigung am stärksten zu- oder abnimmt.
wegen entfällt .
Liegt hier eine Extremstelle der 1. Ableitung vor?
Erstelle eine Monotonietabelle:
Es gibt bei einen relativen Tiefpunkt von . Es ist ein absolutes Minimum, da es keinen weiteren Vorzeichenwechsel von in gibt.
Die maximale Abnahmegeschwindigkeit ist
Der Betrag der maximalen Abnahmegeschwindigkeit ist rund .