Für einen Stand auf der nächsten Reisemesse in München plant ein Veranstalter ein Zelt, das in einem kartesischen Koordinatensystem des (vgl. Abbildung) modellhaft durch eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche dargestellt wird. Die Zeltwand liegt in der Ebene
Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter. Auf die Mitführung von Einheiten kann bei den Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.
Auch nach der Corona-Pandemie wird in den Zelten auf der Reisemesse auf eine Beschränkung der Anzahl der sich gleichzeitig im Zelt aufhaltenden Personen geachtet. Die Kenndaten der eingebauten Lüftungsanlage geben für das hier betrachtete Zelt eine Obergrenze von Personen pro Kubikmeter Raumvolumen vor. Ermitteln Sie, wie viele Personen sich gleichzeitig im betrachteten Zelt aufhalten dürfen.
(3 BE)
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- Gegeben sind die quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge und die Pyramidenhöhe (die Werte können aus der Abbildung entnommen werden).
- Personenanzahl
Ermittle, wie viele Personen sich gleichzeitig im betrachteten Zelt aufhalten dürfen
Gegeben sind die quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge und die Pyramidenhöhe (aus der Abbildung entnommen).
Die Pyramide hat ein Volumen von .
Personenanzahl
Es dürfen sich 62 Personen gleichzeitig im betrachteten Zelt aufhalten.
Die Zeltwände dienen als Projektionsflächen für Beamer, die außerhalb des Zelts montiert sind. Auf die Zeltwand, an der sich der Zelteingang befindet, wird nicht projiziert.
1) Damit die Projektionen gut sichtbar sind, werden die drei Zeltwände vollständig mit einer speziellen Folie beklebt. Ein Quadratmeter dieser Folie kostet Euro. Ermitteln Sie die hierfür anfallenden Materialkosten.
(4 BE)
2) Das Objektiv des Beamers, welcher auf die Zeltwand projiziert, befindet sich im Punkt . Laut Herstellerangabe soll zwischen dem Objektiv des Beamers und der Projektionsfläche ein Mindestabstand von Meter eingehalten werden. Überprüfen Sie rechnerisch, ob diese Vorgabe hier erfüllt ist.
(5 BE)
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Teil 1
- Berechne den Flächeninhalt von drei Pyramidenwänden.
- Die Materialkosten betragen .
Teil 2
- Der Punkt befindet sich vor der Seitenfläche .
- Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden .
- Setze in ein, um den Lotfußpunkt zu erhalten.
- Der Abstand des Punktes P von der Ebene ist gleich dem Betrag des Vektors .
- Überprüfe, ob ist.
1) Ermitteln Sie die hierfür anfallenden Materialkosten
Gegeben: Ein Quadratmeter Folie kostet Euro.
Berechne den Flächeninhalt von drei Pyramidenwänden. (Auf die Zeltwand, an der sich der Zelteingang befindet, wird nicht projiziert.)
Die drei Pyramidenwandflächen haben einen Flächeninhalt von rund .
Die Materialkosten betragen .
2) Überprüfe rechnerisch, ob diese Vorgabe hier erfüllt ist
Der Punkt befindet sich vor der Seitenfläche .
Weiterhin gegeben sind der Punkt , ein Mindestabstand von Meter und die Zeltwand liegt in der Ebene .
Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden .
Setze in ein, um den Lotfußpunkt zu erhalten:
Der Abstand des Punktes P von der Ebene ist gleich dem Betrag des Vektors .
Der Abstand des Punktes von der Zeltwand beträgt rund .
Der Mindestabstand von Meter ist also erfüllt.
Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie die Größe dieses Winkels.
(5 BE)
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- Bestimme den Normalenvektor der Ebene .
- Für den Winkel zwischen den beiden Ebenen gilt:
- Der gesuchte Winkel ist aber laut Aufgabenstellung ein stumpfer Winkel, d.h. der gesuchte Winkel ist der Nebenwinkel von .
Ermittle die Größe dieses Winkels
Nach Aufgabe b) ist
Betrachte die Zeltseite .
Der Normalenvektor der Ebene ist .
Für den Winkel zwischen den beiden Ebenen gilt:
Der gesuchte Winkel ist aber laut Aufgabenstellung ein stumpfer Winkel der zwischen und liegt, d.h. der gesuchte Winkel ist der Nebenwinkel von .
Der Winkel zwischen zwei benachbarten Zeltwänden ist dann .
Der Zelteingang hat eine Durchgangshöhe von . Der Punkt liegt auf der Strecke und der Punkt auf der Strecke . Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes und zeigen Sie mit Ihrem Ergebnis, dass das Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist. [ Teilergebnis: ]
(6 BE)
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Teil 1
- Erstelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte und .
- Der Punkt liegt in der Ebene
- Schneide die Gerade mit J.
Teil 2
- Für ein Trapez muss sein.
- Wenn das Viereck ein gleichschenkliges Trapez sein soll, dann muss sein.
Ermittle die Koordinaten des Punktes
Gegeben sind:
, und die Durchgangshöhe beträgt . Der Punkt liegt auf der Strecke .
Erstelle die Gleichung der Geraden durch die Punkte und .
Gerade
Der Punkt liegt in der Ebene
Setze in ein:
Setze in ein:
Zeige mit Deinem Ergebnis, dass das Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist
Bekannt: und .
Dann ist und
Für ein Trapez muss sein, d.h.
, also parallel.
Wenn das Viereck ein gleichschenkliges Trapez sein soll, dann muss sein.
und
und
Es handelt sich um ein gleichschenkliges Trapez.