FOS T12
Aufgabe 3
Gegeben ist die reelle Funktion mit der Definitionsmenge . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass für die 1. Ableitung von gilt: [2 BE]
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- Berechne die 1. Ableitung von h(x).
- Forme den gegeben Term von um und vergleiche.
Zeige, dass für die 1. Ableitung von gilt:
Gegeben:
Berechne die 1. Ableitung:
Forme den gegeben Term von um:
Die beiden Terme sind gleich, d. h. die 1. Ableitung lässt sich in der Form schreiben.
Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte des Graphen von . [4 BE]
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- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Löse die Gleichung .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne die Funktionswerte. Achte auf Randextrema.
Ermittle jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte des Graphen von
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Löse die Gleichung .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt
und
Erstelle eine Monotonietabelle:
Randtiefpunkt | HP |
Berechne die Funktionswerte.
hat die relativen Extremwerte Randtiefpunkt und .
Begründen Sie, ohne die Gleichung zu lösen, z. B. mithilfe der bisherigen Ergebnisse, wie viele Nullstellen die Funktion besitzt. [3 BE]
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- Betrachte die beiden Intervalle und .
- Wie ist das Monotonieverhalten von in diesen Bereichen?
- Wie verhält sich ?
Begründe, ohne die Gleichung zu lösen, z. B. mithilfe der bisherigen Ergebnisse, wie viele Nullstellen die Funktion besitzt
Der Randtiefpunkt hat die Koordinaten und im Bereich ist streng monoton steigend, d. h. verläuft hier oberhalb der x-Achse.
Im Intervall ist streng monoton fallend und es gilt.
Demnach muss in diesem Intervall eine Nullstelle liegen und es gibt nur diese eine Nullstelle. hat genau eine Nullstelle.